Đề kiểm tra 45 phút chương 4: Hàm số y=ax^2 - Phương trình bậc hai một ẩn - Đề số 1 — Không quảng cáo

+) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$

+ ) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} =  - 1$, nghiệm kia là ${x_2} =  - \dfrac{c}{a}.$

Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} =  - 1$, nghiệm kia là ${x_2} =  - \dfrac{c}{a}.$

Dựa vào kiến thức về tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - Sx + P = 0$ (Điều kiện để có hai số đó là ${S^2} - 4P \ge 0$)

Dựa vào công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn:

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$, với $b=2b'$ và $\Delta '=b{{'}^{2}}-ac$.

- Nếu $\Delta '>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${{x}_{1}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a};{{x}_{2}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}$.

- Nếu $\Delta '=0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b'}{a}$.

- Nếu $\Delta '<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta '>0$.

Dựa vào khái niệm phương trình bậc hai một ẩn.

Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

$a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ trong đó  $a,b,c$ là các số thực cho trước, $x$ là ẩn số.

Bước 1: Xác định các hệ số  $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$

Bước 2: Kết luận

- Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{a}$

- Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

Ta có $9{x^2} - 15x + 3 = 0$$\left( {a = 9;b =  - 15;c = 3} \right)$

Suy ra $\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 15} \right)^2} - 4.9.3 = 117 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm.

Bước 2: Số nghiệm vừa tìm được của phương trình là số giao điểm của đường thẳng và parabol

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0$ có $\Delta ' = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

Gọi số thứ nhất là $a;a \in {\mathbb{N}}$ ; số thứ hai là $b;b \in {\mathbb{N}}.$

Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ nên ta biểu diễn được b theo a.

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ nên ta viết được phương trình theo a.

Tính \(\Delta '\) để tìm a, từ đó ta tính được b.

Gọi số thứ nhất là $a;a \in {\mathbb{N}}$ ; số thứ hai là $b;b \in {\mathbb{N}}.$

Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ nên  ta có

$2a - 3b = 9$ suy ra $b = \dfrac{{2a - 9}}{3}$

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ nên ta có phương trình:

${a^2} - {\left( {\dfrac{{2a - 9}}{3}} \right)^2} = 119$

$9{a^2} - {\left( {2a - 9} \right)^2} = 1071$

$5{a^2} + 36a - 1152 = 0$

Ta có: $\Delta ' = 18^2 - 5.(-1152) = 6084 $ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $a_1 = \dfrac{{ - 18 + \sqrt {6084} }}{5}= 12\,\left( N \right)$; $a_2 = \dfrac{{ - 18 - \sqrt {6084} }}{5} - \dfrac{{96}}{5}\,\left( L \right)$

Với $a = 12$, ta có $b = \dfrac{{2.12 - 9}}{3} = 5$

Vậy số lớn hơn là $12$.

Bước 1: Sử dụng định lí Viète

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để biến đổi $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$

Phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$ có $\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.2 = 17 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$

Theo định lí Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{-(-5)}{1} = 5\\{x_1}.{x_2} = \frac{2}{1} = 2\end{array} \right.\).

Ta có $A = x_1^2 + x_2^2 = \left(x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2\right) - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2.2 = 21$

Đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$ không cắt nhau  khi phương trình $a{x^2} = mx + n$ vô nghiệm.

Bước 1: Thay nghiệm $x = {x_0}$ vào phương trình ta được phương trình mới ẩn $m$

Bước 2: Giải phương trình thu được ta tìm được $m$.

Thay $x = 2$ vào phương trình $4m{x^2} - x - 10{m^2} = 0$ , ta có

$4m{.2^2} - 2 - 14{m^2} = 0 $

$14{m^2} - 16m + 2 = 0$

$\left( {14m - 2} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 $

Suy ra $m = \dfrac{1}{7}$ hoặc $m = 1$

Suy ra tích các giá trị của $m$ là $\dfrac{1}{7}.1 = \dfrac{1}{7}$.

Thay $x = {x_0}$ vào phương trình đã cho ta được phương trình ẩn $m$. Giải phương trình ta tìm được $m$.

Thay $x = 2$ vào phương trình $2m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0$ ta được:

$2m{.2^2} - \left( {2m + 1} \right).2 - 3 = 0 $

$ 4m - 5 = 0$

$m = \dfrac{5}{4}$

Vậy $m = \dfrac{5}{4}$ là giá trị cần tìm.

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$ có $\Delta  = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.7 = 8 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$

Theo định lí Viète, ta có ${x_1} + {x_2} =  - \dfrac{{ - 6}}{1} = 6$

Đặt ${\left( {x + 1} \right)^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 5t - 84 = 0$ (*)

Ta có  $\Delta  = 361$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} = \dfrac{{5 + \sqrt {361} }}{2} = 12\,\,\left( N \right);{t_2} = \dfrac{{5 - \sqrt {361} }}{2} =  - 7\,\left( L \right)$

Thay lại cách đặt ta có ${\left( {x + 1} \right)^2} = 12 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt {12} $

Suy ra tổng các nghiệm là $ - 1 + \sqrt {12}  - 1 - \sqrt {12}  =  - 2$.

Bước 1: Đánh giá hệ số $a$ của ${x^2}$

Bước 2: Ta sử dụng các kiến thức sau để kết luận

* Xét hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).\) Ta có:

-  Nếu \(a > 0\) thì hàm số nghịch biến khi \(x < 0\) và đồng biến khi \(x > 0\).

-  Nếu \(a < 0\) thì hàm số đồng biến khi \(x < 0\) và nghịch biến khi \(x > 0\).

* Đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường cong (parabol) đi qua gốc tọa độ $O$.

- Nếu \(a > 0\) thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

- Nếu \(a < 0\) thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

Ta thấy hàm số \(y = \left( { - {m^2} + 4m - 5} \right){x^2}\) có

$a =  - {m^2} + 4m - 5 =  - \left( {{m^2} - 4m + 4} \right) - 1 =  - {\left( {m - 2} \right)^2} - 1$

Vì \((m-2)^2\ge 0\) với mọi \(m\) nên \(-(m-2)^2\le 0\) với mọi m

Suy ra \(-(m-2)^2-1\le 0-1\Rightarrow -(m-2)^2-1\le -1<0\) với mọi m

Hay \(a<0\) với mọi m

Nên hàm số đồng biến khi \(x < 0\) và nghịch biến khi \(x > 0\). Suy  ra C,D sai.

Và đồ thị hàm số  nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

Suy ra A sai.

Bước 1: Gọi điểm $M$$\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn điều kiện đề bài. Biểu diễn $x$ theo $y$ hoặc $y$ theo $x$ .

Bước 2: Thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số ta tìm được $x$ từ đó suy ra $M$ .

Gọi điểm $M$$\left( {x;y} \right)$ là điểm cần tìm. Vì $M$ có tung độ gấp đôi hoành độ nên $M\left( {x;2x} \right)$.

Thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số ta được

$2x = \sqrt 3 {x^2} \\ \sqrt 3 {x^2} - 2x = 0 \\ x. \left(\sqrt 3 x - 2 \right) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $\sqrt 3 x - 2 = 0$

hay $x = 0$ hoặc $x = \frac{2\sqrt 3}{3}$

+ Với $x = 0$ thì $y = 0$ là điểm $O\left( {0;0} \right)$.

+ Với $x = \frac{2\sqrt 3}{3}$ thì $y = 2\frac{2\sqrt 3}{3} = \frac{4\sqrt 3}{3}$

Vậy có hai điểm thỏa mãn điều kiện là $O\left( {0;0} \right),M\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)$.

Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $b = 2b'$

TH1: $a = 0$

TH2: $a \ne 0$. Khi đó, p hương trình vô nghiệm\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0\) có $a = m - 3;b' =  - m;c = m - 6$

Suy ra $\Delta ' = {m^2} - \left( {m - 3} \right)\left( {m - 6} \right) = 9m - 18$

TH1: $m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3 \Rightarrow  - 6x - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{2}$

TH2: $m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 3$

Để phương trình có vô nghiệm phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\9m - 18 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\m < 2\end{array} \right. \Rightarrow m < 2$

Vậy $m < 2$ là giá trị cần tìm.

Bước 1 : Tìm hai nghiệm của phương trình đã cho

Bước 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng

Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$

Phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ có $a - b + c = 18 - 23 + 5 = 0$ nê phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} =  - 1;{x_2} =  - \dfrac{5}{{18}}$. Khi đó $A = 18.\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$.

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  \ge 0\end{array} \right.\).

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Phương trình \({x^2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0\) có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta  = {\left( {4m + 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) = 16{m^2} + 33 > 0;\forall m$

Nên phương trình  luôn có hai nghiệm  phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 4m - 1\\{x_1}.{x_2} = 2m - 8\end{array} \right.$

Xét \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16{m^2} + 33 \ge 33\)

Dấu “=” xảy ra khi $m = 0$

Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.

Điều kiện: $x \ne 1;x \ne  - 1;x \ne 14$

Ta có \(\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - 1} \right) = \dfrac{3}{{14 - x}}\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^2} - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}:\dfrac{{1 + x - 1 + x}}{{1 - x}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}.\dfrac{{1 - x}}{{2x}} = \dfrac{3}{{14 - x}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$$ \Rightarrow 28 - 2x = 3x + 3 \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$

Sử dụng ${A^2} = {B^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A =  - B\end{array} \right.$

Ta có \({\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}\)$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 5 = {x^2} - x + 5\\{x^2} + 2x - 5 =  - {x^2} + x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 10\\2{x^2} - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{10}}{3}\\x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Nên tích các nghiệm là $\dfrac{{10}}{3}.0.\dfrac{1}{2} = 0$

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm (*)

Bước 2:  Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = mx + m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - mx - m - 1 = 0\left( * \right)$ có

$\Delta  = {m^2} - 4\left( { - m - 1} \right) = {m^2} + 4m + 4 = {\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0$, $\forall m$; $S = {x_1} + {x_2} = m;P = {x_1}.{x_2} =  - m - 1$ với ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình (*).

Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} > 0\\m < 0\\ - m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 2\\m < 0\\m <  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\m \ne  - 2\end{array} \right.$

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\m \ne  - 2\end{array} \right.$ .

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol

Bước 2: Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{{{x^2}}}{2} = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0$ có $\Delta ' = {m^2} + 4$

Vì $\Delta ' = {m^2} + 4 > 0;\forall m$ nên đường thẳng $d:y = mx + 2$ cắt  parabol  $\left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}$  tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.

Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(x\) (giờ), \(\left( {x > 0} \right)\). Biểu diễn tốc độ chảy của các vòi trong một giờ. Lập phương trình.

Giải phương trình để tìm x.

Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(x\) (giờ), \(\left( {x > 0} \right)\).

Trong một giờ:

- Vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) (bể).

- Vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{{x + 4}}\) (bể).

- Vòi thứ ba chảy được \(\dfrac{1}{6}\) (bể).

Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước ở bể chảy ra nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 4}} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{{24}} \)

\(\dfrac{{2x + 4}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{5}{{24}} \)

Suy ra \(5{x^2} - 28x - 96 = 0\)

Giải phương trình, ta được \(x_1 = 8\,\left( {TM} \right)\) và \(x_2 =  - \dfrac{{12}}{5}\,\left( L \right)\)

Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau $8$ giờ bể đầy nước.

Gọi thời gian người đó đi từ $A$ đến $B$ là $t$ giờ. $\left( {t > \dfrac{1}{3}} \right)$

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi $20$  phút nên thời gian về là \(t - \dfrac{1}{3}\) và quãng đường đi về là như nhau nên ta có : \(25t = 30.\left( {t - \dfrac{1}{3}} \right) \Leftrightarrow t = 2\,\left( {TM} \right)\)

Vậy quãng đường $AB$ là $50km$ .

+) Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

+) Sử dụng bất đẳng thức tam giác để đánh giá $\Delta $.

Phương trình \({x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\)

Có $\Delta  = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 4\left( {ab + bc + ca} \right)$$ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = {\left( {a - b} \right)^2} - {c^2} + {\left( {b - c} \right)^2} - {a^2} + {\left( {a - c} \right)^2} - {b^2}$

$ = \left( {a - b - c} \right)\left( {a + c - b} \right) + \left( {b - c - a} \right)\left( {a + b - c} \right) + \left( {a - c - b} \right)\left( {a - c + b} \right)$

Mà $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác nên $\left\{ \begin{array}{l}a - b - c < 0\\b - c - a < 0\\a - c - b < 0\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}a + c - b > 0\\a + b - c > 0\end{array} \right.$

Nên $\Delta  < 0$ với mọi $a,b,c$

Hay phương trình luôn vô nghiệm với mọi $a,b,c$.