Đề kiểm tra 45 phút chương 2: Hàm số bậc nhất - Đề số 2 — Không quảng cáo

Sử dụng cách vẽ đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường thẳng

Nếu \(b \ne 0\) thì đồ thị \(y = ax + b\) là đường thẳng đi qua các điểm \(A(0;b),\,\,B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right).\)

Đồ thị hàm số $y = 2x + 1$ là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;3} \right)$ nên hình 1 là đồ thị hàm số $y = 2x + 1$.

Hàm số bậc nhất $y = ax + b$ xác định với mọi giá trị của $x$ thuộc \(\mathbb{R}\) và có tính chất sau

- Đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\).

- Nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a < 0\).

Sử dụng kiến thức: Điểm $({x_0};{y_0})$ thuộc ĐTHS $y = {\rm{ax}} + b \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}$.

Đáp án A: Thay $ x_0=0;y_0=1$ vào hàm số, ta có $ 2.0 + 1 = 1  \Rightarrow (0;1)$ thuộc ĐTHS đã cho.

- Tìm tọa độ giao điểm 2  đường thẳng cho trước $d;d'$

- Cho giao điểm vừa tìm được thuộc vào đường thẳng $d''$.

Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b \)\(\Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b\)

$d:y = x + 3;d':y =  - x + 1;d'':y = \sqrt 3 x - m - 2$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$: $x + 3 =  - x + 1 \Leftrightarrow 2x =  - 2 \Leftrightarrow x =  - 1 \Rightarrow y = 2$

Do đó $d$ và $d'$ cắt nhau tại điểm $\left( { - 1;2} \right)$.

Điểm $A( - 1;2) \in d'':y = \sqrt 3 x - m - 2 $$\Leftrightarrow 2 = \sqrt 3 .\left( { - 1} \right) - m - 2 $$\Leftrightarrow m =  - 4 - \sqrt 3 $

Vậy $m =  - 4 - \sqrt 3 $.

Sử dụng định nghĩa hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số dạng $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Hàm số $y = \sqrt {2 - m} .x + 1$ là hàm số bậc nhất khi $\left\{ \begin{array}{l}2 - m \ge 0\\\sqrt {2 - m}  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 2$

Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)\).

+) \(d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\)

+) \(d\) cắt \(d'\)\( \Leftrightarrow a \ne a'\).

+) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).

+) \(d \bot d' \Leftrightarrow a.a' =  - 1\).

Ta thấy \(d:y =  - \dfrac{1}{2}x + 1\) có \(a =  - \dfrac{1}{2};b = 1\) và \(d':y =  - \dfrac{1}{2}x + 2\) có \(a' =  - \dfrac{1}{2};b = 2\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\left( { - \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{2}} \right)\\b \ne b'\,\,\left( {1 \ne 2} \right)\end{array} \right.\) nên \(d//d'\) .

- Viết phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua 2 điểm cho trước $A;B$.

- Để $3$ điểm $A;B;C$ thẳng hàng thì $C \in (d)$

Gọi $d:y = {\rm{ax}} + b$ là đường thẳng đi qua $A$ và $B$.

$\begin{array}{l}A(0;3) \in d \Leftrightarrow a.0 + b = 3 \Leftrightarrow b = 3\\B(2;2) \in d \Leftrightarrow a.2 + b = 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\2a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow d:y =  - \dfrac{1}{2}x + 3\end{array}$

Để $3$  điểm $A,B,C$ thẳng hàng thì $C(m + 3;m) \in (d):y =  - \dfrac{1}{2}x + 3$

$ \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{2}\left( {m + 3} \right) + 3 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}m = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m = 1$.

Vậy $m = 1$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường thẳng để tìm $x$ từ đó ta tìm được $y$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}x - 3 =  - x + 3 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}x = 6 \Leftrightarrow x = 4\\ \Rightarrow y =  - 4 + 3 =  - 1.\end{array}$

Vậy giao điểm cần tìm có tọa độ $(-4;1)$.

Sử dụng định nghĩa hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số dạng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Hàm số \(y = \dfrac{{3m}}{{1 - 2m}}x - 5\) là hàm số bậc nhất khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3m}}{{1 - 2m}} \ne 0\\1 - 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m \ne 0\\2m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

-Sử dụng tính chất :

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) xác định với mọi giá trị của \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\) và có tính chất sau

+ Đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\).

+ Nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a < 0\).

- Giải bất phương trình chứa căn dạng \(\sqrt A  > b\,\left( {b \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\\A > {b^2}\end{array} \right.\).

Hàm số \(y = \left( {5 - \sqrt {5 - m} } \right).x + m + 2\) là hàm số nghịch biến khi \(5 - \sqrt {5 - m}  < 0\)

ĐK: \(5 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 5\)

Khi đó \(5 - \sqrt {5 - m}  < 0 \Leftrightarrow \sqrt {5 - m}  > 5\)\( \Rightarrow 5 - m > 25 \Leftrightarrow m <  - 20\)

Kết hợp điều kiện ta được \(m <  - 20\) nên giá trị nguyên lớn nhất của \(m\) thỏa mãn là \(m =  - 21.\)

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) xác định với mọi giá trị của \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\) và có tính chất sau

- Đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\).

- Nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a < 0\).

Hàm số \(y = \left( {\dfrac{m}{2} - 3} \right)x + m + 1\) là hàm số nghịch biến khi \(\dfrac{m}{2} - 3 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{m}{2} < 3 \Leftrightarrow m < 6\).

+) Để xét tính đồng quy của ba đường thẳng cho trước, ta thực hiện các bước sau

Bước 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho.

Bước 2. Kiểm tra xem nếu giao điểm vừa tìm được thuộc đường thằng còn lại thì kết luận ba đường thẳng đó đồng quy.

+) Thay tọa độ điểm \(M\left( {0;5} \right)\) vào phương trình đường thẳng  \({d_2}\) ta được \(5 = 5.0 - 1 \Leftrightarrow 5 =  - 1\) (vô lý )

Nên \(B \notin {d_2}\). Suy ra A,D sai.

+) Xét tính đồng quy của ba đường thẳng

* Phương trình hoành độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\): \( - x + 5 = 5x - 1 \Leftrightarrow 6x = 6 \Leftrightarrow x = 1\)\( \Rightarrow y =  - 1 + 5 \Leftrightarrow y = 4\)

Suy ra tọa độ giao điểm của \({d_1}\)và \({d_2}\) là \(\left( {1;4} \right)\).

* Thay \(x = 1;y = 4\) vào phương trình đường thẳng \({d_3}\) ta được \(4 =  - 2.1 + 6 \Leftrightarrow 4 = 4\) (luôn đúng)

Vậy ba đường thẳng trên đồng quy tại điểm \(N\left( {1;4} \right)\).

Để hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại một điểm có tung độ $y = {y_0}$.

Bước 1. Thay $y = {y_0}$ vào phương trình đường thẳng đã biết để tìm ${x_0}$.

Bước 2. Thay $x = {x_0}$; $y = {y_0}$ vào phương trình đường thẳng còn lại để tìm $m$.

Thay $y = 4$ vào phương trình đường thẳng ${d_2}$ ta được $x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$.

Suy ra tọa độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là $\left( {3;4} \right)$.

Thay $x = 3;y = 4$ vào phương trình đường thẳng ${d_1}$ ta được $\left( {m + 1} \right).3 - 1 = 4 \Leftrightarrow m + 1 = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}$.

Vậy $m = \dfrac{2}{3}$.

Bước 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho.

Bước 2. Thay tọa độ giao điểm vừa tìm được vào đường thẳng còn lại để tìm $m$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${d_2}$ và ${d_3}$:

$3x + 1 = 2x - 5 \Leftrightarrow x =  - 6$$ \Rightarrow y =  - 17$. Suy ra giao điểm của ${d_3}$ và ${d_2}$ là $M\left( { - 6; - 17} \right).$

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì $M \in {d_1}$ nên $ - 17 = \left( {m + 2} \right).\left( { - 6} \right) - 3 \Leftrightarrow 6\left( {m + 2} \right) = 14 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}$

Vậy $m = \dfrac{1}{3}$.

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và các trục tọa độ

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông

Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối để tìm \(m\)

\(\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x_B = 0 \Rightarrow y_B =  - 1\\ \Rightarrow B(0; - 1) \Rightarrow OB = | - 1| = 1\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y_A = 0 \Leftrightarrow (k - 2)x_A - 1 = 0 \Leftrightarrow x_A = \dfrac{1}{{k - 2}}(k \ne 2)\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{1}{{k - 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{1}{{k - 2}}} \right|\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.\left| {\dfrac{1}{{k - 2}}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow |k - 2| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \dfrac{5}{2}\\k = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.(tmdk)\end{array}\)

+) Tìm điều kiện để hàm số $y=ax+b$ là hàm số bậc nhất là $a\ne 0$

+) Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.

+) $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$

+) \(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\).

+) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).

+) \(d \bot d' \Leftrightarrow a.a' =  - 1\).

+) Ta thấy $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ có $a = m + 2$ và $d':y =  - 2x - 2m + 1$ có $a' =  - 2$ .

+) Để $y = \left( {m + 2} \right)x - m$ là hàm số bậc nhất thì $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 2$

+) Để \(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\)

$ \Leftrightarrow m + 2 \ne  - 2 \Leftrightarrow m \ne  - 4$

Vậy $m \ne \left\{ { - 2; - 4} \right\}$.

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là \(y = ax + b\,\,\)\(\left( {a \ne 0} \right)\)

Bước 2:  Tìm hệ số \(a\) theo mối quan hệ song song.

Bước 3: Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng ta tìm được \(b\).

Gọi phương trình đường thẳng \(d\) cần tìm là \(y = ax + b\,\,\)\(\left( {a \ne 0} \right)\)

Vì \(d\) // \(d'\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b \ne  - 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow d:y =  - 2x + b\)

Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \( - 2.\left( { - 1} \right) + b = 4 \Leftrightarrow b = 2\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng \(d:y =  - 2x + 2\).

Sử dụng  lý thuyết về hệ số góc của đường thẳng.

Đường thẳng $d$ có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) có $a$ là hệ số góc.

Từ đó tìm $m$ .

Hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k = m + 2$  $(m \ne -2)$

Từ giả thiết suy ra $m + 2 =  - 4 \Leftrightarrow m =  - 6(TM)$ .

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng \(d\)

Bước 2: Xác định hệ số góc: đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a\) là hệ số góc.

Gọi \(d:y = {\rm{ax}} + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua \(2\) điểm \(M\left( { - 3;2} \right)\) và \(N\left( {1; - 1} \right)\)

\(M\) thuộc \(d \Leftrightarrow  - 3a + b = 2 \Rightarrow b = 2 + 3a\,\,\left( 1 \right)\)

\(N\) thuộc \(d \Leftrightarrow 1.a + b =  - 1 \Leftrightarrow b =  - 1 - a\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(2 + 3a =  - 1 - a \Leftrightarrow 4a =  - 3 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{3}{4}\) suy ra \(b =  - 1 - a =  - 1 + \dfrac{3}{4} =  - \dfrac{1}{4}\)

Vậy \(d:y =  - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{4}\).

Hệ số góc của \(d\) là \(k =  - \dfrac{3}{4}\)

- Tìm giao điểm của đường thẳng với trục hoành, trục tung

- Áp dụng định lý Py-ta-go để tính độ dài đoạn thẳng.

- Sử dụng công thức chu vi tam giác.

Ta có:

$\begin{array}{l}d' \cap Ox = M(3;0) \Rightarrow OM = 3\\d' \cap Oy = N(0;6) \Rightarrow ON = 6\end{array}$

Ta có tam giác $OMN$ vuông tại $O$.

Áp dụng định lý Py ta go ta có:

$M{N^2} = O{M^2} + O{N^2} = 9 + 36 = 45 \Rightarrow MN = 3\sqrt 5 $

Suy ra chu vi tam giác $OMN$ là: $MN + OM + ON = 3\sqrt 5  + 3 + 6 = 9 + 3\sqrt 5 $

- Sử dụng kiến thức:

Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y=ax+b$ $\Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b$

- Biến đổi biểu thức cần tính để xuất hiện biểu thức đã có ở bước trên

Điểm $\left( {3;2} \right)$ thuộc đường thẳng $y = {\rm{a}}x + b \Rightarrow 3a + b = 2$

Ta có $6a + 2b = 2(3a + b) = 2.2 = 4$

Sử dụng kiến thức:

+) Điểm $({x_0};{y_0})$ thuộc đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b$$ \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}$.

+) Từ đó tìm $a;b$.

Gọi $d:y = {\rm{ax}} + b$ đi qua $2$ điểm $M\left( { - 3;2} \right)$ và $N\left( {1; - 1} \right)$

$M$ thuộc $d \Leftrightarrow  - 3a + b = 2 \Rightarrow b = 2 + 3a\,\,\,\,\,(1)$

$N$ thuộc $d \Leftrightarrow 1.a + b =  - 1 \Rightarrow b = - 1 - a \,\,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) suy ra \(2 + 3a = - 1 - a \Leftrightarrow 4a = - 3 \Leftrightarrow a = - \dfrac{3}{4}\)\( \Rightarrow b = 2 + 3a = - \dfrac{1}{4}\)

Nên $a = \dfrac{{ - 3}}{4};b =  - \dfrac{1}{4}$.

Vậy $d:y =  - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{4}$.

- Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước

- Nhận xét được $MN//AB$ và $AB$ đi qua trung điểm $P$

Giả sử $MN:y = {\rm{ax}} + b$

Ta có $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a =  - b$;

$M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a =  - 2$ $\Rightarrow b=2$

Do đó $MN:y =  - 2{\rm{x}} + 2$.

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$

Suy ra $AB$ có dạng: $y =  - 2x + b'\,(b' \ne 2)$

Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên $AB$ đi qua $P\left( { - 1; - 1} \right)$

$ \Rightarrow  - 1 =  - 2( - 1) + b' \Leftrightarrow b' =  - 3(t/m)$

Vậy $AB:y =  - 2x - 3.$

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và 2 trục tọa độ.

Biện luận và giải phương trình.

\(\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x_B = 0 \Rightarrow y_B = 4 \Rightarrow B(0;4) \Rightarrow OB = |4| = 4\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y_A = 0 \Leftrightarrow ({m^2} - 2m + 2)x_A + 4 = 0 \\\Leftrightarrow x_A = \dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}} \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}};0} \right)\\ \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}} \right|\end{array}\)

\({S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB \)\(= \dfrac{1}{2}.4.\left| {\dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}} \right| \)\(= \dfrac{8}{{{{(m - 1)}^2} + 1}}\)

Ta có \({(m - 1)^2} + 1 \ge 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\forall m}\end{array}\)

Do đó \({S_{\Delta AOB}} = \dfrac{8}{{{{(m - 1)}^2} + 1}} \le \dfrac{8}{1} = 8\)

Dấu “=” xảy ra khi \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) .

Hay tam giác \(OAB\) có diện tích lớn nhất là \(8\) khi \(m=1.\)

- Sử dụng kiến thức đường trung bình của tam giác

- Điểm thuộc đường thẳng

- Hai đường thẳng vuông góc: $ d \bot d'$ \( \Leftrightarrow a.a' = - 1\) \( (a;a' \ne 0) \)

Gọi phương trình đường trung trực của $AB$ là $d:y = mx + n$ và $MN:y = ax + b$

Ta có $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a =  - b$;

$M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a =  - 2$

Do đó $MN:y =  - 2{\rm{x}} + 2$.

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$.

Vì $d$ là đường trung trực của $AB$ nên $BC \bot MN \Rightarrow m( - 2) =  - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}$

$ \Rightarrow d:y = \dfrac{1}{2}x + n$

Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên \(d\)  đi qua $P$

$ \Rightarrow  - 1 = \dfrac{1}{2}( - 1) + n \Leftrightarrow n =  - \dfrac{1}{2}$.

Vậy trung trực của $AB$ là : $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}$.