Đề kiểm tra 15 phút chương 4: Hàm số y=ax^2 - Phương trình bậc hai một ẩn - Đề số 2 — Không quảng cáo

Đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$ không cắt nhau  khi phương trình $a{x^2} = mx + n$ vô nghiệm.

Đặt ${x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 6t - 7 = 0$ (*)

Nhận thấy $a - b + c = 1 + 6 - 7 = 0$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} =  - 1\,\,\left( L \right);{t_2} = 7\,\left( N \right)$

Thay lại cách đặt ta có ${x^2} = 7 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 7 $

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm.

Bước 2: Số nghiệm vừa tìm được của phương trình là số giao điểm của đường thẳng và parabol

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0$ có $\Delta ' = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

Đặt ${\left( {x + 1} \right)^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 5t - 84 = 0$ (*)

Ta có  $\Delta  = 361$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} = \dfrac{{5 + \sqrt {361} }}{2} = 12\,\,\left( N \right);{t_2} = \dfrac{{5 - \sqrt {361} }}{2} =  - 7\,\left( L \right)$

Thay lại cách đặt ta có ${\left( {x + 1} \right)^2} = 12 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt {12} $

Suy ra tổng các nghiệm là $ - 1 + \sqrt {12}  - 1 - \sqrt {12}  =  - 2$.

Sử dụng ${A^2} = {B^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A =  - B\end{array} \right.$

Ta có \({\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}\)$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 5 = {x^2} - x + 5\\{x^2} + 2x - 5 =  - {x^2} + x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 10\\2{x^2} - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{10}}{3}\\x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Nên tích các nghiệm là $\dfrac{{10}}{3}.0.\dfrac{1}{2} = 0$

Điều kiện: $x \ne 1;x \ne  - 1;x \ne 14$

Ta có \(\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - 1} \right) = \dfrac{3}{{14 - x}}\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^2} - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}:\dfrac{{1 + x - 1 + x}}{{1 - x}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}.\dfrac{{1 - x}}{{2x}} = \dfrac{3}{{14 - x}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$$ \Rightarrow 28 - 2x = 3x + 3 \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$

Điều kiện: $x \ne 2;x \ne 3$

\(\dfrac{{2x}}{{x - 2}} - \dfrac{5}{{x - 3}} = \dfrac{-9}{{{x^2} - 5x + 6}}\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{2x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{ - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}$$ \Rightarrow 2{x^2} - 11x + 19 = 0$

Nhận thấy \(\Delta = {11^2} - 4.19.2 = - 31 < 0\) nên phương trình $2{x^2} - 11x + 19 = 0$ vô nghiệm. Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol

Bước 2: Để đường thẳng tiếp xúc với parabol thì phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{{{x^2}}}{2} = \dfrac{1}{2}x + m \Leftrightarrow {x^2} - x - 2m = 0$ có $\Delta  = 8m + 1$

Để đường thẳng $d$ tiếp xúc với parabol $\left( P \right)$ thì $\Delta  = 0 \Leftrightarrow 8m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{8}$.

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm (*)

Bước 2:  Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu$ \Leftrightarrow ac < 0$

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = \left( {m - 2} \right)x + 3m $

$\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 3m = 0$

Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung

$ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

$ \Leftrightarrow ac < 0$

$ \Leftrightarrow  - 3m < 0 \Leftrightarrow m > 0$.

Ta có \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8\)$ \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right).\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 8 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 8$

Đặt ${x^2} + 3x + 1 = t$ , thu được phương trình $\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 8 \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow {t^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t =  - 3\end{array} \right.$

+) Với $t = 3 \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 = 3 $

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0$ , có $\Delta  = 17 \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2};$

${x_2} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}$

+) Với $t =  - 3 \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 =  - 3$

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 4 = 0$ có $\Delta  =  - 7 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}$

Suy ra tổng các nghiệm là $\dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2} + \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2} =  - 3$