Đề kiểm tra 15 phút chương 4: Hàm số y=ax^2 - Phương trình bậc hai một ẩn - Đề số 1 — Không quảng cáo

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \({y_0} = a{x_o}^2\).

Thay tọa độ điểm $A\left( { - 2;4} \right)$ vào hàm số $y = f\left( x \right) = \left( { - 2m + 1} \right){x^2}$  ta được

$\left( { - 2m + 1} \right).{\left( { - 2} \right)^2} = 4 \\  - 2m + 1 = 1 \\ m = 0$

Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.

Đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) là một parabol đi qua gốc tọa độ $O,$ nhận $Oy$ là trục đối xứng ($O$ là đỉnh của parabol).

- Nếu \(a > 0\) thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị.

- Nếu \(a < 0\) thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất của đồ thị.

Thay $x = {x_0}$ vào phương trình đã cho ta được phương trình ẩn $m$. Giải phương trình ta tìm được $m$.

Thay $x = 2$ vào phương trình $2m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0$ ta được:

$2m{.2^2} - \left( {2m + 1} \right).2 - 3 = 0 $

$ 4m - 5 = 0$

$m = \dfrac{5}{4}$

Vậy $m = \dfrac{5}{4}$ là giá trị cần tìm.

Dựa vào kiến thức về công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$.

Tính biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$.

- Nếu $\Delta >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$.

- Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b}{2a}$.

- Nếu $\Delta <0$ thì phương trình vô nghiệm.

Bước 1: Xác định các hệ số  $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$

Bước 2: Kết luận

- Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{a}$

- Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

Ta có ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0$$\left( {a = 1;b =  - 2\sqrt 2 ;c = 2} \right)$

Suy ra $ \Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 4.1.2 = 0$ nên phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 $.

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \({y_0} = a{x_o}^2\) từ đó tìm được \(m\)

Thay \(x = \sqrt 2 ;y = m\) vào hàm số \(y = \dfrac{1}{4}{x^2}\) ta được \(m = \dfrac{1}{4}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = \dfrac{1}{2}.\)

Vậy \(m = \dfrac{1}{2}.\)

Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

Bước 1: Kiểm tra điều kiện của phương trình bậc hai một ẩn: $a \ne 0$

Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\), với \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có $a =  - 1$ nên là phương trình bậc hai một ẩn x.

Biệt thức $\Delta  = {\left( {2m} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - {m^2} - m} \right)$$ = 4{m^2} - 4{m^2} - 4m $$=  - 4m$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta  > 0$ hay $- 4m > 0$ suy ra $ m < 0$

Vậy với $m < 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Xét phương trình: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0$

TH1: Với $a = 0$, phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn. Với \(b \ne 0\), phương trình có nghiệm.

TH2: Với $a \ne 0$, tính biệt thức \(\Delta\), với \(\Delta \ge 0\) thì phương trình có nghiệm.

Phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\) có $\left( {a = m;b =  - 2\left( {m - 1} \right);c = m - 3} \right)$

TH1: Với $m = 0$ ta có phương trình $2x - 3 = 0$ hay $2x=3$ suy ra $x = \dfrac{3}{2}$

Do đó với $m = 0$ thì phương trình có nghiệm. (1)

TH2: Với $m \ne 0$.

Biệt thức $\Delta = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4m.\left( {m - 3} \right)$$=4m^2-8m+4-4m^2+12m = 4m + 4$

Phương trình đã cho có nghiệm khi $\Delta  \ge 0$ hay $4m + 4 \ge 0$ suy ra $4m\ge -4$, từ đó $m \ge  - 1$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi $m \ge  - 1$.

Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = b{'^2} - ac.$

Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}}=  \dfrac{{-b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}$

Phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có $a =  - 1;b' = m;c =  - {m^2} - m$

Suy ra $\Delta ' = {m^2} - \left( { - 1} \right).\left( { - {m^2} - m} \right) =  - m$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $ - m > 0$ hay $m < 0$

Khi đó ${x_1} = \dfrac{{ - m + \sqrt { - m} }}{{ - 1}} = m - \sqrt { - m} $ ; ${x_2} = \dfrac{{ - m - \sqrt { - m} }}{{ - 1}} = m + \sqrt { - m} $.

Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $b = 2b'$

TH1: $a = 0$

TH2: $a \ne 0$. Khi đó, p hương trình có nghiệm kép\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\)

Phương trình \((m - 2){x^2} - 2(m + 1)x + m = 0\) có $a = m - 2;b' =  - \left( {m + 1} \right);c = m$

Suy ra $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)m = 4m + 1$

TH1: $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2 \Rightarrow  - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}$. Với $m = 2$ phương trình có một nghiệm $x = \dfrac{1}{3}$

TH2: $m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$

Để phương trình có nghiệm kép thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m =  - \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Rightarrow m =  - \dfrac{1}{4}$

Vậy $m =  - \dfrac{1}{4}$ và $m = 2$ là giá trị cần tìm.