Đề kiểm tra 15 phút chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Đề số 1 — Không quảng cáo

Biểu diễn x theo y để được nghiệm tổng quát của phương trình.

Ta có với $a \ne 0,b \ne 0$ thì

$ax + by = c$$\\by =  - ax + c\\ y =  - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$

Nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi mọi $x \in R$ và $y =  - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$

Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$ thỏa mãn ${\rm{ax}} + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.

Thay $x =  - 2;y = 4$ vào từng phương trình ta được

+) $x - 2y =  - 2 - 2.4 =  - 10 \ne 0$ nên loại A.

+) $x - y =  - 2 - 4 =  - 6 \ne 0$ nên loại C.

+) $x + 2y + 1 =  - 2 + 2.4 + 1 = 7 \ne 0$ nên loại D.

+) $2x + y =  - 2.2 + 4 = 0$ nên chọn B.

Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

+) Thay $x =  - 2;y =  - 3$ vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\2x + y = 4\end{array} \right.\) ta được $\left\{ \begin{array}{l} - 2 - \left( { - 3} \right) = 1 \ne 3\\2.\left( { - 2} \right) - 3 =  - 7 \ne 4\end{array} \right.$ nên loại A.

+) Thay $x =  - 2;y =  - 3$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x - 3y = 8\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) =  - 1\\ - 2 - 3.\left( { - 3} \right) = 7 \ne 8\end{array} \right.$ nên loại B.

+) Thay $x =  - 2;y =  - 3$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}4x - 2y = 0\\x - 3y = 5\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}4.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 3} \right) =  - 2 \ne 0\\ - 2 - 3.\left( { - 3} \right) = 7 \ne 5\end{array} \right.$ nên loại D.

+) Thay $x =  - 2;y =  - 3$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x - 3y = 7\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) =  - 1\\ - 2 - 3.\left( { - 3} \right) = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 =  - 1\\7 = 7\end{array} \right.$ nên chọn C.

Từ phương trình thứ nhất, ta có: \(x = \frac{{8 + 7y}}{2}\).

Thay vào phương trình thứ hai, ta có:

\(10.\left( {\frac{{8 + 7y}}{2}} \right) + 3y = 21\)

\(40 + 35y + 3y = 21\)

\(38y = {\rm{\;}} - 19\)

\(y = - \frac{1}{2}\)

Thay vào \(x = \frac{{8 + 7y}}{2}\), ta được: \(x = \frac{{8 + 7.\left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{2} = \frac{9}{4}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{9}{4}; - \frac{1}{2}} \right)\) suy ra \(x + y = \frac{7}{4}\).

Ta có $\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y =  - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\\sqrt 2 \left( { - \sqrt 2 y - \sqrt 3 } \right) + 2 y =  - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - 2y - \sqrt 6  + 2 y =  - \sqrt 6 \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - \sqrt 6  =  - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{R}\\x =  - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(\sqrt 2\) để hệ số của x ở hai phương trình bằng nhau.

Sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\x + y\sqrt 3  = \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(\sqrt 2\) ta được phương trình: \(x\sqrt 2  + y\sqrt 6  = 2\)

Cộng từng vế của hai phương trình với nhau, ta được phương trình \(\left( {\sqrt 6  + \sqrt 3 } \right)y = 1\) hay \(y = \dfrac{1}{{\sqrt 6  + \sqrt 3 }}\)

Thay \(y = \dfrac{1}{{\sqrt 6  + \sqrt 3 }}\) vào \(x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\) ta được \(x\sqrt 2  - \sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3} = 1\) suy ra \( x = 1\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3}} \right)\)

$ \Rightarrow x + 3\sqrt 3 y = 1 + 3\sqrt 2  - 3 = 3\sqrt 2  - 2$ .

Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$ thỏa mãn ${\rm{ax_0}} + by_0 = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.

Thay từng cặp số vào phương trình ta thấy chỉ có một cặp số  $\left( { - 1; - 8} \right)$ thỏa mãn phương trình (vì $3.(-1)-2.(-8)=13$).

Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

Để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - mx + y =  - 2m\\x + {m^2}y = 9\end{array} \right.\)nhận cặp \(\left( {1;2} \right)\) làm nghiệm thì

\(\left\{ \begin{array}{l} - m.1 + 2 =  - 2m\\1 + {m^2}.2 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = -2\\m =  \pm 2\end{array} \right. \Rightarrow m = -2\).

Vậy \(m = -2\).

Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số

Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}5(x + 2y) - 3(x - y) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}5x + 10y - 3x + 3y = 99\\x - 3y - 7x + 4y =  - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 13y = 99\\ - 6x + y =  - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}6x + 39y = 297\\ - 6x + y =  - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} - 6x + y =  - 17\\40y = 280\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}y = 7\\x =  4\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {  4;7} \right)$

Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow a{x_0} + b = {y_0}\)

Từ đề bài ta suy ra hệ hai phương trình hai ẩn \(a;b\). Giải hệ phương trình ta tìm được \(a;b.\)

Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right) \) thì \(  - 4a + b =  - 2\)  (1)

Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( {2;1} \right) \) thì \( 2a + b = 1\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b =  - 2\\2a + b = 1\end{array} \right. \)

\(\left\{ \begin{array}{l} - 6a =  - 3\\2a + b = 1\end{array} \right.\)

\( \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\2.\dfrac{1}{2} + b = 1\end{array} \right. \)

\( \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\)

Vậy \(a = \dfrac{1}{2};b = 0\)