Đề kiểm tra 15 phút chương 5: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Đề số 1 — Không quảng cáo

Sử dụng nhận xét : Với góc nhọn \(\alpha ,\,\beta ,\) ta có: $\sin \alpha  < \sin \beta  \Leftrightarrow \alpha  < \beta $

Vì $20^\circ  < 70^\circ  \Leftrightarrow \sin 20^\circ  < \sin 70^\circ $.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Khi đó ta có các  hệ thức

$A{C^2} = CH.BC$ ; $A{B^2} = BH.BC$ ; $AB.AC = BC.AH$ và $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

Nhận thấy phương án D: $A{H^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$ là sai.

Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Theo định lý Py-ta-go ta có: $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{8^2} - {6^2}}  \approx 5,29$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \approx \dfrac{{5,29}}{6} \approx 0,88.$

Ta có \(\tan \widehat {MNP} = \dfrac{{MP}}{{MN}}\)

Tính $x$ theo hệ thức lượng $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}} \)\(\Leftrightarrow A{H^2} = \dfrac{{A{B^2}.A{C^2}}}{{A{B^2} + A{C^2} }}\)

$ \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{12.13}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{13}^2}} }} \approx 8,82$

Vậy $x \approx 8,82$ .

Bước 1: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm $AB,AC$ . $\left( {\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}}} \right)$

Bước 2: Tính $BH$ theo hệ thức $A{B^2} = BH.BC$

Ta có $AB:AC = 3:4$$ \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{3} = \dfrac{{AC}}{4} \Rightarrow \dfrac{{A{B^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}} $$= \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{9+16}}= \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{25}}$ $=\dfrac{{B{C^2}}}{{25}}$$= \dfrac{{225}}{{25}} = 9$

(Vì theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = 225$ )

Nên $\dfrac{{A{B^2}}}{9} = 9 \Rightarrow AB = 9$ ; $\dfrac{{A{C^2}}}{{16}} = 9 \Rightarrow AC = 12$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có $A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{81}}{{15}} = 5,4$

Vậy $BH = 5,4$ .

Bước 1: Tính $BC$ theo định lý Pytago

Bước 2: Tính $x,y$ theo hệ thức lượng $AH.BC = AB.AC$

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 74 \Leftrightarrow BC = \sqrt {74} $

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$AH.BC = AB.AC \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{5.7}}{{\sqrt {74} }} = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}}$

Vậy $x = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};y = \sqrt {74} $

Bước 1: Tính $BC$ theo định lý Pytago

Bước 2: Tính $x,y$ theo hệ thức lượng $A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC$

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 100 \Leftrightarrow BC = 10$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} $

$= \dfrac{{{6^2}}}{10} = 3,6$ hay $x = 3,6$

$ \Rightarrow CH = BC - BH $$= 10 - 3,6 = 6,4.$

hay $y = 6,4$ .

Vậy $x = 3,6;y = 6,4.$

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng một góc hoặc cùng loại (sử dụng tính chất "Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia")

Bước 2 : Sử dụng đẳng thức lượng giác $\tan \alpha .\cot\alpha  = 1$.

Ta có $\tan 89^\circ  = \cot1^\circ ;\tan 88^\circ  = \cot2^\circ ;..;\tan 46^\circ  = \cot44^\circ $ và $\tan \alpha .\cot\alpha  = 1$

Nên $B = \left( {\tan 1^\circ .\tan 89^\circ } \right).\left( {\tan 2^\circ .\tan 88^\circ } \right)....\left( {\tan 46^\circ .\tan 44^\circ } \right).\tan 45^\circ $

$ = \left( {\tan 1^\circ .\cot 1^\circ } \right).\left( {\tan 2^\circ .\cot 2^\circ } \right).\left( {\tan 3^\circ .\cot 3^\circ } \right)....\left( {\tan 44^\circ .\cot 44^\circ } \right).\tan 45^\circ $

$ = 1.1.1....1.1 = 1$

Vậy $B = 1$.

Bước 1: Tính cạnh cần thiết lại theo định lý Pytago hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Đổi $0,5\,dm = 5\,cm$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$,

theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

$A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BC = \dfrac{{A{B^2}}}{{BH}} = \dfrac{{{{13}^2}}}{5} = 33,8\,\,cm$

$ \Rightarrow \sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}}$

$= \dfrac{{13}}{{33,8}} \approx 0,38$