Đề kiểm tra 15 phút chương 2: Hàm số bậc nhất - Đề số 2 — Không quảng cáo

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.

$d$ trùng $d'$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.$.

Bước 1: Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ để tìm $m$ và đưa phương trình về dạng $y = ax + b$.

Bước 2: Sử dụng  lý thuyết về hệ số góc của đường thẳng.

Đường thẳng $d$ có phương trình $y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)$ có $a$ là hệ số góc.

Thay $x = 3;y =  - 1$  vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\left( {2m - 3} \right).3 + m =  - 1 \Leftrightarrow 7m = 8 \Leftrightarrow m = \dfrac{8}{7}$

Suy ra $d:y =  - \dfrac{5}{7}x + \dfrac{8}{7}$

Hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k =  - \dfrac{5}{7}$.

Đường thẳng $d$ có phương trình $y =  - kx + b\,\,\left( {k \ne 0} \right)$ có $- k$ là hệ số góc.

Sử dụng  lý thuyết về hệ số góc của đường thẳng.

Đường thẳng $d$ có phương trình $y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)$có $a$ là hệ số góc.

Đường thẳng $d$:$y = \dfrac{1}{3}x - 10$ có hệ số góc là $a = \dfrac{1}{3}$.

Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm $M\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$.

Đưa phương trình đường thẳng $d$ về phương trình bậc nhất ẩn $m$.

Từ đó để phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ luôn đúng thì $a = b = 0$

Giải điều kiện ta tìm được $x,y$.

Khi đó $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cố định cần tìm.

Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cố định cần tìm khi đó

$3mx - \left( {m + 3} \right) = y\,$ đúng với mọi $m$

$\Leftrightarrow 3mx - m - 3 - y = 0$ đúng với mọi $m$

$\Leftrightarrow m\left( {3x - 1} \right) +  - 3 - y = 0$ đúng với mọi $m$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 1 = 0\\ - 3 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{3}; - 3} \right)$

Vậy điểm $M\left( {\dfrac{1}{3}; - 3} \right)$ là điểm cố định cần tìm.

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $(a \ne 0)$

Bước 2:  Tìm hệ số $a$ theo mối quan hệ song song.

Bước 3: Tìm tọa độ điểm $M$ là giao của đường thẳng $d$với trục hoành rồi thay tọa độ vào phương trình đường thẳng ta tìm được $b$.

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $(a \ne 0).$

Vì $d$ song song với đường thẳng $y =  - 2x + 1$ nên $a =  - 2;b \ne 1 \Rightarrow y =  - 2x + b$

Giao điểm của đường thẳng $d$ với trục hoành có tọa độ $\left( {3;0} \right)$

Thay $x = 3;y = 0$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $- 2.3 + b = 0 \Leftrightarrow b = 6\,\left( {TM} \right) \Rightarrow y =  - 2x + 6$

Vậy $d:y =  - 2x + 6$.

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Bước 2:  Tìm hệ số $a$ theo mối quan hệ vuông góc.

Bước 3: Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng ta tìm được $b$.

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Vì $d$$\bot$$d'$ nên $a.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow a = 2$ (TM)

$\Rightarrow d:y = 2x + b$

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $2.2 + b =  - 1 \Leftrightarrow b =  - 5$

Vậy phương trình đường thẳng $d:y = 2x - 5$.

Sử dụng kiến thức

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và 2 trục tọa độ.

Điều kiện để có tam giác cân.

Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

$\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x_B = 0 \Rightarrow y_B = m - 1\\ \Rightarrow B(0;m - 1) \Rightarrow OB = |m - 1|\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y_A = 0 \Leftrightarrow mx_A + m - 1 = 0 \Leftrightarrow x_A = \dfrac{{1 - m}}{m}(m \ne 0)\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{{1 - m}}{m};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{1 - m}}{m}} \right|\end{array}$

Tam giác OAB vuông cân tại O

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow OA = OB \Leftrightarrow |m - 1| = \left| {\dfrac{{1 - m}}{m}} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = \dfrac{{1 - m}}{m}\\m - 1 = \dfrac{{m - 1}}{m}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\(m - 1)\left( {1 - \dfrac{1}{m}} \right) = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  \pm 1\\\dfrac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{m} = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m =  \pm 1\end{array}$

Gọi phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$$\left( {a \ne 0} \right)$

Xác định hệ số $a$ dựa vào góc tạo bởi đường thẳng với trục $Ox$, tìm $b$ dựa vào điểm đi qua

Gọi phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$ $\left( {a \ne 0} \right)$

Vì góc tạo bởi đường thẳng $d$ và trục $Ox$ là $30^\circ$ nên $a = \tan 30^\circ  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$

$\Rightarrow y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}x + b$

Vì đường thẳng $d$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $6$ nên $d$ giao với trục hoành tại $A\left( {6;0} \right)$.

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.6 + b = 0 \Rightarrow b =  - 2\sqrt 3$

Nên $d:y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}x - 2\sqrt 3$.

+) Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ để tìm $m$.

+) Sử dụng cách tìm hệ số góc : đường thẳng $d:y = ax + b$$\left( {a \ne 0} \right)$ có hệ số góc $a$.

Thay $x =  - 2;y = 4$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $\left( {6 - \dfrac{m}{2}} \right)\left( { - 2} \right) - 2m + 3 = 4$$\Leftrightarrow  - 12 + m - 2m + 3 = 4 \Leftrightarrow m =  - 13$

Khi đó $y = \dfrac{{25}}{2}x + 29$

Đường thẳng $y = \dfrac{{25}}{2}x + 29$ có hệ số góc $k = \dfrac{{25}}{2}$.