Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 2 - Bài 3 - Chương 2 - Hình học 9
Giải Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 2 - Bài 3 - Chương 2 - Hình học 9
Đề bài
Gọi I là trung điểm của dây cung AB không qua tâm của đường tròn (O; R). Qua I vẽ dây cung CD.
a. Chứng tỏ \(CD ≥ AB\). Tìm độ dài nhỏ nhất, lớn nhất của các dây quanh I.
b. Cho \(R = 5cm, OI = 4cm.\) Tính độ dài dây cung ngắn nhất qua I.
c. Chứng tỏ rằng : \(\widehat {OAI} > \widehat {ODI}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Trong hai dây của một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
- Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương các cạnh góc vuông.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Lời giải chi tiết
a. Kẻ \(OK ⊥ CD\), ta có: \(∆OKI\) vuông nên \(OI ≥ OK\) (cạnh huyền > cạnh góc vuông)
\(⇒ CD ≥ AB\) (định lí 2)
Dấu “=” xảy ra khi \(CD = AB.\) Do đó độ dài nhỏ nhất của CD bằng AB hay CD trùng với AB. Hiển nhiên đường kính qua I là dây lớn nhất.
b. Ta có: \(∆OIA\) vuông tại I
\( \Rightarrow AI = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} \)\(\;= \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3\,\left( {cm} \right)\)
Do đó dây cung \(AB = 6cm\)
c. \(\sin \widehat {OAI} = {{OI} \over {OA}} = {{OI} \over R};\)\(\,\sin \widehat {ODI} = {{OK} \over {OD}} = {{OK} \over R}\)
Mà \(OI > OK \Rightarrow {{OI} \over R} > {{OK} \over R}\) hay \(\sin \widehat {OAI} > \sin \widehat {ODI} \Rightarrow \widehat {OAI} > \widehat {ODI}\)