Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 6 - Bài 5 - Chương 3 - Hình học 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O), D là một điểm trên cung BC. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Chứng minh rằng: $AB^2= BE.CF$.

Lời giải chi tiết

Ta có :

$\widehat {BED} =\dfrac {{sd\overparen{AC} - sd\overparen{BD}}}{ 2}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,= \dfrac{{sd\overparen{BC} - sd\overparen{BD}} }{ 2}$ (vì $\overparen{AC} = \overparen{ BC}$)

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=\dfrac{{sd\overparen{DC}} }{ 2}$ ( góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn)

$\widehat {CBF} = \dfrac{{sd\overparen{DC}}}{2}$ ( góc nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBF}$

Tương tự ta chứng minh được $\widehat {CFD} = \widehat {BCE}$.

Vậy $∆BCE$ và $∆CFB$ đồng dạng (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{{BC} }{ {CF}} =\dfrac {{BE}}{ {BC}}$

$\Rightarrow  BC^2= BE.CF$ mà $BC = AB$ (gt)

$\Rightarrow  AB^2= BE.CF.$