Giải bài 12 trang 50 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, biết $SA = AB = BC = a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AC$. Tích vô hướng $\overrightarrow {SM}  \cdot \overrightarrow {BC}$bằng

A. $\frac{{{a^2}}}{2}$.

B. ${a^2}$.

C. $- {a^2}$.

D. $- \frac{{{a^2}}}{2}$.

Lời giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow {SM}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AM} } \right) \cdot \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BC}$ do $\overrightarrow {SA}  \bot \overrightarrow {BC}$.

Có $AC = \sqrt {B{A^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2$ suy ra $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$; $\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {45^ \circ }$ do tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$.

Do đó $\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BC}  = AM \cdot BC \cdot \cos {45^ \circ } = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot a \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Đáp án A.