Giải bài 36 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9$ và mặt phẳng

$\left( P \right):2x + 2y - z + 8 = 0$.

a) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S). Tính bán kính r của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

Lời giải chi tiết

a) Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9$ có tâm $I\left( {0;0;2} \right)$ và bán kính $R = 3$.

b) Ta có $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{3} = 2 < R$ suy ra mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S).

Bán kính đường tròn giao tuyến là $r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}}  = \sqrt {9 - 4}  = \sqrt 5$.