Giải bài 38 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian (Oxyz), cho hai điểm (Aleft( {1;2;0} right)) và (Bleft( {3;2;2} right)) a) Viết phương trình tham số của đường thẳng (AB). b) Viết phương trình mặt cầu đường kính (AB). c) Viết phương trình mặt phẳng (left( {OAB} right)). d) Tìm tọa độ điểm (M) nằm trên mặt phẳng (left( {Oyz} right)) sao cho (M{A^2} + M{B^2}) nhỏ nhất.
Đề bài
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\) và \(B\left( {3;2;2} \right)\)
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(AB\).
b) Viết phương trình mặt cầu đường kính \(AB\).
c) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\).
d) Tìm tọa độ điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Đường thẳng cần tìm có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \).
Ý b: Mặt cầu có tâm là trung điểm cạnh \(AB\).
Ý c: \(\left( {OAB} \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]\).
Ý d: Sử dụng biểu thức vectơ để biến đổi.
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng \(AB\)có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;0;2} \right)\).
Suy ra \(AB:2\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2z - 2 = 0 \Leftrightarrow x + z - 1 = 0\).
b) Mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {2;2;1} \right)\) là trung điểm cạnh \(AB\), bán kính
\(IA = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2 \). Suy ra \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\).
c) \(\left( {OAB} \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {4; - 2 - 4} \right)\). Chọn \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) là vectơ
pháp tuyến của \(\left( {OAB} \right)\).
Suy ra \(\left( {OAB} \right):2\left( {x - 0} \right) - \left( {y - 0} \right) - 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 2z = 0\)
d) Ta có \(M{A^2} + M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = 2M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} = 2M{I^2} + 4\).
Suy ra \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất khi \(MI\) ngắn nhất. Mà điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên để \(MI\) ngắn nhất thì \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) do đó \(M\left( {0;2;1} \right)\).