Giải bài 38 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;2;0} \right)$ và $B\left( {3;2;2} \right)$

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $AB$.

b) Viết phương trình mặt cầu đường kính $AB$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {OAB} \right)$.

d) Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho $M{A^2} + M{B^2}$ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $AB$có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB}  = \left( {2;0;2} \right)$.

Suy ra $AB:2\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2z - 2 = 0 \Leftrightarrow x + z - 1 = 0$.

b) Mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$ có tâm $I\left( {2;2;1} \right)$ là trung điểm cạnh $AB$, bán kính

$IA = \sqrt {1 + 1}  = \sqrt 2$. Suy ra $\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2$.

c) $\left( {OAB} \right)$ có một vectơ pháp tuyến $\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {4; - 2 - 4} \right)$. Chọn $\overrightarrow n  = \left( {2; - 1; - 2} \right)$ là vectơ

pháp tuyến của $\left( {OAB} \right)$.

Suy ra $\left( {OAB} \right):2\left( {x - 0} \right) - \left( {y - 0} \right) - 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 2z = 0$

d) Ta có $M{A^2} + M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = 2M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} = 2M{I^2} + 4$.

Suy ra $M{A^2} + M{B^2}$ nhỏ nhất khi $MI$ ngắn nhất. Mà điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ nên để $MI$ ngắn nhất thì $M$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ do đó $M\left( {0;2;1} \right)$.