Giải bài 41 trang 19 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau:

a) $y =  - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1$ trên khoảng $\left( {0;3} \right)$;

b) $y = {x^4} - 8{x^2} + 10$ trên khoảng $\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)$;

c) $y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}$;

d) $y = x + \frac{4}{{x - 1}}$ trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y =  - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1$ trên khoảng $\left( {0;3} \right)$.

Ta có: ${y^\prime } =  - {x^2} - 2{\rm{x}} + 3$

Khi đó, trên khoảng $\left( {0;3} \right)$, $y' = 0$ khi $x = 1$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) = \frac{8}{3}$ tại $x = 1$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left( {0;3} \right)$.

b) Xét hàm số $y = {x^4} - 8{x^2} + 10$ trên khoảng $\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)$.

Ta có: ${y^\prime } = 4{{\rm{x}}^3} - 16{\rm{x}}$

Khi đó, trên khoảng $\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)$, $y' = 0$ khi $x = 0,x =  - 2,x = 2$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\max }\limits_{\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) = 10$ tại $x = 0$, $\mathop {\min }\limits_{\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) =  - 6$ tại $x =  \pm 2$.

c) Xét hàm số $y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}$.

Ta có: $y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right){{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{\rm{x}}.\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right).2{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

Khi đó, $y' = 0$ khi $x = 0$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) =  - 1$ tại $x = 0$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng $\left( {0;3} \right)$.

d) Xét hàm số $y = x + \frac{4}{{x - 1}}$ trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.

Ta có: ${y^\prime } = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Khi đó, trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$, $y' = 0$ khi $x =  - 1$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;1} \right)} f\left( x \right) =  - 3$ tại $x =  - 1$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.