Giải bài 42 trang 19 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $y = 2{x^3} + 3{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 1$ trên đoạn $\left[ { - 1;5} \right]$;

b) $y = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2}$ trên đoạn $\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]$;

c) $y = {x^5} - 5{{\rm{x}}^4} + 5{{\rm{x}}^3} + 1$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$;

d) $y = x + \frac{4}{x}$ trên đoạn $\left[ {3;4} \right]$;

e) $y = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {3 - x}$;

g) $y = x\sqrt {16 - {x^2}}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y' = 6{x^2} + 6{\rm{x}} - 12$

Khi đó, trên đoạn $\left[ { - 1;5} \right]$, $y' = 0$ khi $x = 1$.

$y\left( { - 1} \right) = 14;y\left( 1 \right) =  - 6;y\left( 5 \right) = 266$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} y = 266$ tại $x = 5$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} y =  - 6$ tại $x = 1$.

b) $y = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2} = {\left[ {\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} = {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} = {x^4} - 4{{\rm{x}}^2} + 4$

Ta có: $y' = 4{{\rm{x}}^3} - 8{\rm{x}}$

Khi đó, trên đoạn $\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]$, $y' = 0$ khi $x = 0,x = \sqrt 2$.

$y\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{49}}{{16}};y\left( 0 \right) = 4;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 0;y\left( 2 \right) = 4$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]} y = 4$ tại $x = 0,{\rm{x}} = 4$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]} y = 0$ tại $x = \sqrt 2$.

c) Ta có: $y' = 5{{\rm{x}}^4} - 20{{\rm{x}}^3} + 15{{\rm{x}}^2}$

Khi đó, trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$, $y' = 0$ khi $x = 0,x = 1$.

$y\left( { - 1} \right) =  - 10;y\left( 0 \right) = 1;y\left( 1 \right) = 2;y\left( 2 \right) =  - 7$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = 2$ tại $x = 1$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y =  - 10$ tại $x =  - 1$.

d) Ta có: $y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}$

Khi đó, trên đoạn $\left[ {3;4} \right]$, $y' = 0$ không có nghiệm.

$y\left( 3 \right) = \frac{{13}}{3};y\left( 4 \right) = 5$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;4} \right]} y = 5$ tại $x = 4$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;4} \right]} y = \frac{{13}}{3}$ tại $x = 3$.

e) Hàm số có tập xác định là $\left[ {1;3} \right]$.

Ta có: $y' = \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{\sqrt {3 - x} }}$

Khi đó, trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$, $y' = 0$ khi $x = 2$.

$y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = 2;y\left( 3 \right) = \sqrt 2$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 2$ tại $x = 2$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = \sqrt 2$ tại $x = 1,x = 3$.

g) Hàm số có tập xác định là $\left[ { - 4;4} \right]$.

Ta có: $y' = {\left( x \right)^\prime }\sqrt {16 - {x^2}}  + x.{\left( {\sqrt {16 - {x^2}} } \right)^\prime } = \sqrt {16 - {x^2}}  + x.\frac{{ - x}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \frac{{16 - 2{x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}$

Khi đó, trên đoạn $\left[ { - 4;4} \right]$, $y' = 0$ khi $x =  - 2\sqrt 2 ,x = 2\sqrt 2$.

$y\left( { - 4} \right) = 0;y\left( { - 2\sqrt 2 } \right) =  - 8;y\left( {2\sqrt 2 } \right) = 8;y\left( 4 \right) = 0$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 8$ tại $x = 2\sqrt 2$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y =  - 8$ tại $x =  - 2\sqrt 2$.