Giải bài 42 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1;0;1),B(2;1;2) và C(0;−4;0). a) Chứng minh rằng ba điểm A,B,C không thẳng hàng. b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. d) Tính chu vi của tam giác ABC. e) Tính cos^BAC.
Đề bài
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1;0;1),B(2;1;2) và C(0;−4;0).
a) Chứng minh rằng ba điểm A,B,C không thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi của tam giác ABC.
e) Tính cos^BAC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng tính chất: Ba điểm A,B,C thẳng hàng nếu hai vectơ →AB,→AC cùng phương.
‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với →u=(x1;y1;z1) và →v=(x2;y2;z2), ta có: →u=→v⇔{x1=x2y1=y2z1=z2.
‒ Sử dụng công thức toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
G(xA+xB+xC3;yA+yB+yC3;zA+zB+zC3).
‒ Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng AB:
AB=|→AB|=√(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.
‒ Sử dụng công thức tính góc của hai vectơ →u=(x1;y1;z1) và →v=(x2;y2;z2):
cos(→u,→v)=→u.→v|→u|.|→v|=x1.x2+y1.y2+z1.z2√x21+y21+z21.√x22+y22+z22.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: →AB=(1;1;1),→AC=(−1;−4;−1),k→AC=(−k;−4k;−k).
Suy ra →AB≠k→AC,∀k∈R.
Vậy ba điểm A,B,C không thẳng hàng.
b) Giả sử D(xD;yD;zD).
→DC=(0−xD;(−4)−yD;0−zD)=(−xD;−4−yD;−zD).
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi →AB=→DC.
→AB=→DC⇔{1=−xD1=−4−yD1=−zD⇔{xD=−1yD=−5zD=−1. Vậy D(−1;−5;−1).
c) G(1+2+03;0+1+(−4)3;1+2+03)⇔G(1;−1;1).
d) Ta có:
AB=|→AB|=√12+12+12=√3;AC=|→AC|=√(−1)2+(−4)2+(−1)2=3√2;BC=|→BC|=√(0−2)2+(−4−1)2+(0−2)2=√33.
Chu vi tam giác ABClà: √3+3√2+√33.
e) Trong tam giác ABC, ta có:
cos^BAC=cos(→AB,→AC)=→AB.→AC|→AB|.|→AC|=1.(−1)+1.(−4)+1.(−1)√3.3√2=−√63.