Giải bài 43 trang 20 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $y = \sin 2{\rm{x}} - x$ trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$;

b) $y = x + {\cos ^2}x$ trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]$;

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y' = 2\cos 2{\rm{x}} - 1$

Khi đó, trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$, $y' = 0$ khi $x =  - \frac{\pi }{6},x = \frac{\pi }{6}$.

$y\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2};y\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6};y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - \frac{\pi }{2}$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} y = \frac{\pi }{2}$ tại $x =  - \frac{\pi }{2}$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} y =  - \frac{\pi }{2}$ tại $x = \frac{\pi }{2}$.

b) Ta có: $y' = 1 - 2\cos x\sin x = 1 - \sin 2{\rm{x}}$

Khi đó, trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]$, $y' = 0$ khi $x = \frac{\pi }{4}$.

$y\left( 0 \right) = 1;y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]} y = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}$ tại $x = \frac{\pi }{4}$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]} y = 1$ tại $x = 0$.