Giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác $BAD$ vuông cân ở $B$, $ACF$ vuông cân ở $C$. Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $DC$, $K$ là giao điểm của $AC$ và $BF$ (Hình 9). Chứng minh:

a)      $AH = AK$

b)     $A{H^2} = A{K^2} = HB.KC$.

Lời giải chi tiết

a)      Đặt $AB = c,AC = b$. Vì $BD//AC$ (cùng vuông góc với $AB$) và $BD = AB$ nên $\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{b}{c}$

→    $\frac{{AH}}{{AH + HB}} = \frac{b}{{b + c}}$ hay $\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{b}{{b + c}}$

Do đó $AH = \frac{{bc}}{{b + c}}$ (1)

Tương tự, ta có $AB//CF$ (cùng vuông góc với $AC$) và $CF = AC$ nên

$\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}$.

→    $\frac{{AK}}{{KC + AK}} = \frac{c}{{b + c}}$ hay $\frac{{AK}}{{AC}} = \frac{c}{{b + c}}$.

Do đó $AK = \frac{{bc}}{{b + c}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $AH = AK$.

b)     Từ $\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{b}{c}$ và $\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{CF}} = \frac{c}{b}$

→    $\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{KC}}{{AK}}$.

Mà $AK = AH$ nên $\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{KC}}{{AH}}$

Do đó $A{H^2} = A{K^2} = BH.KC$.