Giải bài 5 trang 88 sách bài tập toán 8 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Qua $A$ kẻ đường thẳng $d$ bất kì sao cho đường thẳng $d$ không cắt đoạn thẳng $BC$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $B,C$ trên đường thẳng $d$. Chứng minh $A{D^2} + A{E^2}$ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng $d$.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh được:

$\widehat {BAD} + \widehat {ABD} = 90^\circ$ và $\widehat {BAD} + \widehat {CAE} = 90^\circ$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {CAE}$.

$\Delta ABD = \Delta CAE$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $AD = CE$

Do đó $A{D^2} + A{E^2} = C{E^2} + A{E^2} = A{C^2}$ (vì tam giác $CAE$ vuông tại $E$)

Vậy $A{D^2} + A{E^2}$ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng $d$.