Giải bài 70 trang 85 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:
Đề bài
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) ΔEBH∽;
b) DB là tia phân giác của góc EDI, với I là giao điểm của AH và BC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:
\widehat{A'}=\widehat{A},\widehat{B'}=\widehat{B},\widehat{C'}=\widehat{C} ; \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}.
Kí hiệu là \Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC.
Tỉ số các cạnh tương ứng \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}=k gọi là tỉ số đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a) Vì các tam giác EBH và DCH đều là các tam giác vuông và \widehat{EBH}=\widehat{DHC} (hai góc đối đỉnh) nên \Delta EBH\backsim \Delta DCH. Tương tự, ta có các tam giác ABH và ACE là các tam giác vuông và \widehat{BAD}=\widehat{CAE} nên \Delta ABH\backsim \Delta ACE. Suy ra \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE} hay \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}. Mà \widehat{BAC}=\widehat{DAE} suy ra \Delta ADE\backsim \Delta ABC.
b) Do \Delta ADE\backsim \Delta ABC nên \widehat{ADE}=\widehat{CBA} (1). Tương tự cách chứng minh ở câu a, ta có \Delta CDI\backsim \Delta CBA (2). Từ (1) và (2), ta có \widehat{ADE}=\widehat{CDI}.
Do đó 90{}^\circ -\widehat{ADE}=90{}^\circ -\widehat{CDI} hay \widehat{EDB}=\widehat{BDI}. Vậy DB là đường phân giác của góc EDI.