Giải bài tập 4 trang 80 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hai biến cố $A,B$ có $P\left( A \right) = 0,4;P\left( B \right) = 0,8;P\left( {A \cup B} \right) = 0,9$.

Tính $P\left( {A|B} \right);P\left( {A|\overline B } \right);P\left( {\overline A |B} \right);P\left( {\overline A |\overline B } \right)$.

Lời giải chi tiết

Theo quy tắc cộng xác suất ta có: $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)$.

Suy ra $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right) = 0,4 + 0,8 - 0,9 = 0,3$.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,8}} = 0,375$.

Vì $AB$ và $A\overline B$ là hai biến cố xung khắc và $AB \cup A\overline B  = A$ nên theo tính chất của xác suất, ta có $P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) = 0,4 - 0,3 = 0,1$.

Ta có: $P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện ta có: $P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,1}}{{0,2}} = 0,5$.

Do $\overline A |B$ và $A|B$ là hai biến cố đối nên ta có: $P\left( {\overline A |B} \right) = 1 - P\left( {A|B} \right) = 1 - 0,375 = 0,625$.

Do $\overline A |\overline B$ và $A|\overline B$ là hai biến cố đối nên ta có: $P\left( {\overline A |\overline B } \right) = 1 - P\left( {A|\overline B } \right) = 1 - 0,5 = 0,5$.