Giải bài tập 5 trang 80 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hai biến cố (A,B) có (Pleft( {overline A B} right) = 0,2;Pleft( {AB} right) = 0,3) và (Pleft( {Aoverline B } right) = 0,4). Tính (Pleft( {A|B} right);Pleft( {A|overline B } right);Pleft( {overline A |B} right);Pleft( {overline A |overline B } right)).
Đề bài
Cho hai biến cố \(A,B\) có \(P\left( {\overline A B} \right) = 0,2;P\left( {AB} \right) = 0,3\) và \(P\left( {A\overline B } \right) = 0,4\).
Tính \(P\left( {A|B} \right);P\left( {A|\overline B } \right);P\left( {\overline A |B} \right);P\left( {\overline A |\overline B } \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng quy tắc cộng xác suất: Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
‒ Sử dụng công thức tính xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\): \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Vì \(\overline A B\) và \(AB\) là hai biến cố xung khắc và \(AB \cup \overline A B = B\) nên theo tính chất của xác suất, ta có \(P\left( B \right) = P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {AB} \right) = 0,2 + 0,3 = 0,5\).
Ta có: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,5 = 0,5\).
Theo công thức tính xác suất có điều kiện ta có:
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,5}} = 0,6;P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,5}} = 0,8\).
Do \(\overline A |B\) và \(A|B\) là hai biến cố đối nên ta có: \(P\left( {\overline A |B} \right) = 1 - P\left( {A|B} \right) = 1 - 0,6 = 0,4\).
Do \(\overline A |\overline B \) và \(A|\overline B \) là hai biến cố đối nên ta có: \(P\left( {\overline A |\overline B } \right) = 1 - P\left( {A|\overline B } \right) = 1 - 0,8 = 0,2\).