Giải mục 1 trang 31, 32 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

Câu 1

a) Quan sát khai triển biểu thức sau:

${(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^{5 - 1}}{b^1} + C_5^2{a^{5 - 2}}{b^2} + C_5^3{a^{5 - 3}}{b^3} + C_5^4{a^{5 - 4}}{b^4} + C_5^5{b^5}$

Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức ${(a + b)^5}$

b) Xét biểu thức ${(a + b)^n}$ với $n \in \mathbb{N}*,n \ge 2$

Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức ${(a + b)^n}$

Lời giải chi tiết:

a) Dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức ${(a + b)^5}$ là: $C_5^k{a^{5 - k}}{b^k}$ với $0 \le k \le 5$

b) Dự đoán: Dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức ${(a + b)^n}$ là: $C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$ với $0 \le k \le n$

Câu 2

Khai triển biểu thức ${\left( {x + 2} \right)^7}$

Phương pháp giải:

${(a + b)^7} = C_7^0{a^7} + C_7^1{a^6}b + C_7^2{a^5}{b^2} + C_7^3{a^4}{b^3} + C_7^4{a^3}{b^4} + C_7^5{a^2}{b^5} + C_7^6a{b^6} + C_7^7{b^7}$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{(x + 2)^7} = C_7^0{x^7} + C_7^1{x^6}.2 + C_7^2{x^5}{2^2} + C_7^3{x^4}{2^3} + C_7^4{x^3}{2^4} + C_7^5{x^2}{2^5} + C_7^6x{.2^6} + C_7^7{2^7}\\ = {x^7} + 14{x^6} + 84{x^5} + 280{x^4} + 560{x^3} + 672{x^2} + 448x + 128\end{array}$

Câu 3

Cho $n \in \mathbb{N}*$. Chứng minh $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n = {2^n}$

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: ${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Cho $a = b = 1$, ta được:

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {(1 + 1)^n} = {2^n}$