Giải chuyên đề 2 Phương pháp quy nạp toán học. Nhị thức Newton chuyên đề học tập toán 10 cánh diều — Không quảng cáo

Chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng (frac{1}{2}.)

Chứng minh với mọi $n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 - \sqrt 2 )^n}$ lần lượt viết được ở dạng ${a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,$ trong đó ${a_n},{b_n}$ là các số nguyên dương.

a) Quan sát khai triển biểu thức sau:

Từ các đẳng thức như

Cho ${S_n} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}$ và ${T_n} = {2^{n + 1}} - 1$, với $n \in \mathbb{N}*$

Khai triển biểu thức:

Cho ${S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}$ và ${T_n} = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}$, với $n \in \mathbb{N}*$

Tính: a) $S = C_{2022}^0{9^{2022}} + C_{2022}^1{9^{2021}} + ... + C_{2022}^k{9^{2022 - k}} + ... + C_{2022}^{2021}9 + C_{2022}^{2022}$

Cho ${S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}$ với $n \in \mathbb{N}*$

Chứng minh $C_n^0{3^n} + C_n^1{3^{n - 1}} + ... + C_n^k{3^{n - k}} + ... + C_n^{n - 1}3 + C_n^n$

Cho q là số thực khác 1.

Xác định hệ số của:

Chứng minh với mọi $n \in \mathbb{N}*$, ta có:

Xét khai triển ${\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^{12}}$

Chứng minh ${n^n} > {(n + 1)^{n - 1}}$ với mọi $n \in \mathbb{N}*,n \ge 2.$

Xét khai triển ${\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}}$

Chứng minh ${a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})$ với mọi $n \in \mathbb{N}*$

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất)

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp: ${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$ với $n \in \mathbb{N}*$