Giải mục 2 trang 25, 26 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

Luyện tập – vận dụng 2

Chứng minh với mọi $n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 - \sqrt 2 )^n}$ lần lượt viết được ở dạng ${a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,$ trong đó ${a_n},{b_n}$ là các số nguyên dương.

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với $n \ge p$ thì:

Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với $n = p$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Khi $n = 1$ ta có ${\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^1} = 1 + \sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^1} = 1 - \sqrt 2$ có dạng ${a_1} + {b_1}\sqrt 2 ,{a_1} - {b_1}\sqrt 2$ với ${a_1} = 1;{b_1} = 1$ là các số nguyên dương

Vậy mệnh đề đúng với $n = 1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:

${\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}};{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^{k + 1}}$ có dạng ${a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 ;{a_{k + 1}} - {b_{k + 1}}\sqrt 2$ với ${a_{k + 1}};{b_{k + 1}}$ là các số nguyên dương.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} + {b_k}\sqrt 2 ;{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^k} = {a_k} - {b_k}\sqrt 2$ với ${a_k};{b_k}$ là các số nguyên dương.

Suy ra

$\begin{array}{l}{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{k + 1}} = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^k}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\\ = \left( {{a_k} + {b_k}\sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = {a_k} + {b_k}\sqrt 2  + {a_k}\sqrt 2  + {b_k}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\\ = \left( {{a_k} + 2{b_k}} \right) + \left( {{a_k} + {b_k}} \right)\sqrt 2 \\ = {a_{k + 1}} + {b_{k + 1}}\sqrt 2 \end{array}$

Trong đó ${a_{k + 1}} = {a_k} + 2{b_k} \in \mathbb{N}*;{b_{k + 1}} = {a_k} + {b_k} \in \mathbb{N}*$

Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

Luyện tập – vận dụng 3

Chứng minh ${16^n} - 15n - 1$ chia hết cho 225 với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với $n \ge p$ thì:

Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với $n = p$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Khi $n = 1$ ta có ${16^1} - 15.1 - 1 = 0$ chia hết cho 225.

Vậy mệnh đề đúng với $n = 1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:

${16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1$ chia hết cho 225.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${16^k} - 15k - 1$ chia hết cho 225.

Suy ra

$\begin{array}{l}{16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 = {16.16^k} - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 16(15k + 1) - 15k - 16\\ = 16\left( {{{16}^k} - 15k - 1} \right) + 225k\end{array}$

Chia hết cho 225

Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.