Trắc nghiệm toán 7 bài 34 kết nối tri thức có đáp án — Không quảng cáo

Sử dụng kiến thức về ba đường trung tuyến.

“ Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.”

+ Một tam giác chỉ có một trọng tâm nên đáp án D sai.

Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng $\dfrac{2}{3}$ đường trung tuyến kẻ từ đỉnh đó.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $AM$ là đường trung tuyến nên $AG = \dfrac{2}{3}AM$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Do đó $AG = \dfrac{2}{3}.12 = 8\,cm.$

- Xét các tam giác bằng nhau, suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

- Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác.

Các tia $AG,BG$ và $CG$  cắt $BC,AC,AB$ lần lượt tại $D,E,F$ thì $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,AC,AB.$

Mà   $BC = AC = AB$ (do tam giác $ABC$ là tam giác đều), do đó $BD = DC = CE = EA = AF = FB$

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AFC$ ta có:  $AB = AC;$ $\widehat A$ chung; $AE = AF.$

Vậy $\Delta AEB = AFC\,(c.g.c)$, suy ra $BE = CF\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có $\Delta BEC = ADC\,(c.g.c)$, suy ra $BE = AD\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có:  $AD = BE = CF\left( 3 \right)$

Theo đề bài $G$  là trọng tâm của tam giác $ABC$  nên ta có:

$GA = \dfrac{2}{3}AD;\,\,GB = \dfrac{2}{3}BE;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CF$

Vì thế từ (3) ta suy ra $GA = GB = GC.$

+ Sử dụng tính chất về đường trung tuyến của tam giác

+ Chứng minh hai tam giác bằng nhau $\Delta BGE = \Delta CGD\left( {c - g - c} \right)$

+ Từ đó suy ra tính chất của tam giác $ABC.$

Hai đường trung tuyến $BD;CE$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$

$\Rightarrow$ $BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE$ mà $BD = CE \Rightarrow$$BG = CG.$

Ta được: $BD - BG = CE - CG \Rightarrow GD = GE$

Xét $\Delta BGE$ và $\Delta CGD$ có

+ $BG = CG$

+ $\widehat {BGE} = \widehat {CGD}$  (đối đỉnh)

+ $GD = GE$

Nên $\Delta BGE = \Delta CGD\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow$ $BE = CD \Rightarrow \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AC$ do đó $AB = AC$ hay tam giác $ABC$ cân tại $A.$

+ Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác và quan hệ giữa các cạnh trong tam giác

Gọi $G$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. Trong $\Delta GBC$ ta có $BG + CG > BC$

Ta lại có $BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE$ (tính chất các đường trung tuyến của tam giác $ABC$)

Từ đó $\dfrac{2}{3}BD + \dfrac{2}{3}CE > BG + CG$$\Rightarrow \dfrac{2}{3}\left( {BD + CE} \right) > BC$$\Rightarrow BD + CE > \dfrac{3}{2}BC.$

+) Dựa vào đinh lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác để tìm mối liên hệ giữa các cạnh.

+) Áp dụng công thức tính diện tích của một tam giác.

Gọi $MH$  là đường cao kẻ từ $M$  xuống cạnh $BC,NK$ là đường cao kẻ từ $N$  xuống cạnh $ME.$

Hai đường trung tuyến $ME$  và $NF$  cắt nhau tại $O$  nên $O$  là trọng tâm tam giác $MNP,$  do đó $MO = \dfrac{2}{3}ME$.

Có $ME$  là đường trung tuyến ứng với cạnh $NP$  nên $E$  là trung điểm của $NP,$  suy ra $NP = 2.NE$

Ta có:

$\dfrac{{{S_{MNO}}}}{{{S_{MNE}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.MO}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.\dfrac{2}{3}.ME}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow {S_{MNO}} = \dfrac{2}{3}{S_{MNE}}$

$\dfrac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{MNP}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.NP}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.2.NE}} = \dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow {S_{MNE}} = \dfrac{1}{2}{S_{MNP}}$

$\Rightarrow {S_{MNP}} = 2.{S_{MNE}} = 3.{S_{MNO}}$ $\Rightarrow {S_{MNP}} = 3.12 = 36\,c{m^2}$

$I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $BI = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{1}{3}BE$  $\left( 1 \right)$

$K$ là trọng tâm tam giác $ACE$ nên $EK = \dfrac{2}{3}ED = \dfrac{1}{3}BE\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ suy ra $IK = \dfrac{1}{3}BE$ từ đó $BI = EK = IK$ .

Ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua 1 điểm.

Hai đường phân giác $CD$ và $BE$ cắt nhau tại $I$ mà ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm nên $AI$ là phân giác của góc $A.$

Áp dụng tính chất 3 đường phân giác của tam giác, tia phân giác của 1 góc, hai đường thẳng song song và tính chất tam giác cân.

Vì O là giao điểm của hai tia phân giác của các góc $\widehat {ABC}$ và $\widehat {CAB}$(gt)

Suy ra, CO là phân giác của $\widehat {ACB}$(tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

$\Rightarrow \widehat {ACO} = \widehat {BCO}\left( 1 \right)$ (tính chất tia phân giác của một góc)

BO là phân giác của $\widehat {ABC}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {OBA} = \widehat {OBC}\left( 2 \right)$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì MN // BC (gt) $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {MOB} = \widehat {OBC}\left( 3 \right)\\\widehat {NOC} = \widehat {OCB}\left( 4 \right)\end{array} \right.$ (so le trong)

Từ (1) và (4) $\Rightarrow \widehat {NOC} = \widehat {NCO} \Rightarrow \Delta NOC$ cân tại N (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow NO = NC = 5cm$ (tính chất tam giác cân)

Từ (2) và (3) $\Rightarrow \widehat {MOB} = \widehat {MBO} \Rightarrow \Delta MOB$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow MB = MO = 4cm$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow MN = MO + ON = 4 + 5 = 9cm.$

Áp dụng tính chất:

Trong một tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cũng đồng thời là đường phân giác ứng với cạnh đáy.

$I$ là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên I cách đều 3 cạnh của tam giác. Vậy A sai

Ta có:$\Delta ABC$ cân tại $A,I$ là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên $AI$ vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của $\widehat {BAC}$  . Mà $G$  là trọng tâm của  $\Delta ABC$ nên $A,G,I$ thẳng hàng. Chọn B.

+ Kẻ $ID \bot BC;IE \bot AC;IF \bot AB$

+ Sử dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác, chứng minh $AI$ là phân giác của $\widehat {BAC}$

+ Chứng minh $BF = BD;$ $AF = AE;CE = CD$

+ Trên đoạn $DC$ lấy điểm $G$ sao cho $BD = DG$, chứng minh $IB = IG$

+ Chứng minh $IG//AC$

+ Chứng minh $IG = GC$

+ Từ các điều trên ta tính được $AC$.

Kẻ $ID \bot BC;IE \bot AC;IF \bot AB$

Tam giác $ABC$ có các đường phân giác của góc $\widehat {ABC}$ và $\widehat {ACB}$ cắt nhau tại $I$ nên $AI$ là phân giác của $\widehat {BAC}$ (tính chất ba đường phân giác của tam giác)

Vì $BI$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ nên $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}$ (tính chất tia phân giác)

Xét $\Delta BFI$ vuông tại $F$ và $\Delta BDI$ vuông tại $D$ có:

$\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (cmt)

$BI$ là cạnh chung

Do đó $\Delta BFI = \Delta BDI$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow BF = BD$ (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có: $AF = AE;CE = CD$.

Trên đoạn $DC$ lấy điểm $G$ sao cho $BD = DG$.

Xét $\Delta BDI$ vuông tại $D$ và $\Delta GDI$ vuông tại $D$ có:

$BD = DG$ (theo cách vẽ)

$DI$ là cạnh chung

Do đó $\Delta BDI = \Delta GDI$ (hai cạnh góc vuông) $\Rightarrow IB = IG$ (hai cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta IBG$ là tam giác cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {IGB}$ (tính chất tam giác cân) $(1)$

Ta có: $\widehat {ABC} = 2\widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {ACB} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \widehat {{B_1}}$ $(2)$

Từ $(1)$; $(2)$ suy ra: $\Rightarrow \widehat {IGB} = \widehat {ACB}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $IG//AC$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Khi đó $\widehat {{C_2}} = \widehat {GIC}$ (hai góc so le trong)

Mặt khác: $\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_1}}$ (do $CI$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}$)

$\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {GIC} \Rightarrow \Delta GIC$ cân tại $G$ $\Rightarrow IG = GC$ (định nghĩa tam giác cân)

Ta có: $AC = AE + CE$

$\begin{array}{l} = AF + CD\\ = AF + DG + GC\\ = AF + BD + IG\\ = AF + BF + IB\\ = AB + IB\end{array}$