Trắc nghiệm toán 7 bài 35 kết nối tri thức có đáp án — Không quảng cáo

• A.

  $AI > AK$

• B.

  $AI < AK$

• C.

  $AI = 2AK$

• D.

  $AI = AK$

• A.

  $\Delta AIK$là tam giác  cân tại B.

• B.

  $\Delta AIK$là tam giác vuông cân tại A.

• C.

  $\Delta AIK$là tam giác vuông

• D.

  $\Delta AIK$là tam giác đều

Tính chất đồng quy của 3 đường trung trực trong một tam giác.

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua 1 điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chọn đáp án D.

Áp dụng tính chất đường trung trực và đường trung tuyến của tam giác.

Giả sử $\Delta ABC$ có $AM$ là trung tuyến đồng thời là đường trung trực.

Ta sẽ chứng minh $\Delta ABC$ là tam giác cân.

Thật vậy, vì $AM$ là trung tuyến của $\Delta ABC$ (gt) $\Rightarrow BM = MC$ (tính chất trung tuyến)

Vì $AM$ là trung trực của $BC$ $\Rightarrow AM \bot BC$

Xét hai tam giác vuông ${\Delta}ABM$ và ${\Delta}ACM$ có:

$BM = CM\left( {cmt} \right)$

$AM$  chung

$\Rightarrow \Delta ABM = \Delta ACM$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AB = AC$ (2 cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A.$

Áp dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất tam giác cân.

Vì $\Delta ABC$ cân tại A (gt) $\Rightarrow \widehat B = \widehat C = \left( {{{180}^0} - \widehat A} \right):2 = \left( {{{180}^0} - {{40}^0}} \right):2 = {70^0}.$

Vì $D$  thuộc đường trung trực của $AB$  nên

$\Rightarrow AD = BD$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow \Delta ABD$ cân tại $D$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat {DAC} + \widehat {CAB} = \widehat {DAB} = \widehat B = {70^0} \Rightarrow \widehat {DAC} = {70^0} - \widehat {CAB} = {70^0} - {40^0} = {30^0}.$

+ Sử dụng tính chất đường trung trực

+ Sử dụng tính chất tam giác cân để tính góc $EAF.$

Vì E nằm trên đường trung trực của AB nên $EA = EB$ ( tính chất) nên $\widehat {{A_1}} = \widehat B$

Vì F nằm trên đường trung trực của AC nên $FA = FC$ ( tính chất) nên $\widehat {{A_3}} = \widehat C$.

Do đó $\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_3}} = \widehat B + \widehat C = 180^\circ  - 100^\circ  = 80^\circ$

$\Rightarrow \widehat {{A_2}} = 100^\circ  - 80^\circ  = 20^\circ .$

Áp dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng và tính chất hai tam giác bằng nhau..

Vì $AB$  là đường trung trực của $HD$  (gt) $\Rightarrow AD = AH$ (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

Vì $AC$  là đường trung trực của $HE$  (gt) $\Rightarrow AH = AE$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow AD = AE \Rightarrow \Delta ADE$ cân tại $A.$ Nên A đúng.

+) $M$  nằm trên đường trung trực của $HD$  nên $MD = MH$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét $\Delta AMD$ và $\Delta AMH$ có:

$AM$  chung.

$AD = AH$ (cmt)

$MD = MH$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AMD = \Delta AMH\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow \widehat {MDA} = \widehat {MHA}$ (2 góc tương ứng)

Lại có, $N$  thuộc đường trung trực của $HE$ nên $NH = NE$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

+) Xét $\Delta AHN$ và $\Delta AEN$ có:

$AN$ chung

$AH = AE$ (cmt)

$NH = NE$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AHN = \Delta AEN\left( {c - c - c} \right)$

$\Rightarrow \widehat {NHA} = \widehat {NEA}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\Delta ADE$ cân tại $A$ (cmt) $\Rightarrow \widehat {MDA} = \widehat {NEA} \Rightarrow \widehat {MHA} = \widehat {NHA}$ .

Vậy $HA$  là đường phân giác của $\widehat {MHN}$ .

Áp dụng tính chất tam giác cân, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, định lý tổng 3 góc trong tam giác

Vì $M$  thuộc đường trung trực của $BC$   $\Rightarrow BM = MC$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow \Delta BMC$ cân tại $M$  (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat {MBC} = \widehat C = {30^0}$ (tính chất tam giác cân)

Xét $\Delta ABC$ có: $\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat C = {180^0}$ (định lý tổng 3 góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat {ABC} = {180^0} - \widehat C - \widehat A = {180^0} - {30^0} - {90^0} = {60^0}$

$\Rightarrow \widehat {ABM} + \widehat {MBC} = \widehat {ABC} = {60^0} \Rightarrow \widehat {ABM} = {60^0} - \widehat {MBC} = {60^0} - {30^0} = {30^0}$

$\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {MBC}$

$\Rightarrow$ $BM$  là phân giác của $\widehat {ABC}$.

+ Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền-cạnh góc vuông

+ Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau để chứng minh $AD$ là tia phân giác của góc $HAK.$

+ Sử dụng định lý về đường trung trực để chỉ ra $AD$  là đường trung trực của đoạn thẳng $HK.$

Xét tam giác vuông $AHD$ và tam giác vuông $AKD$ có

+ $AH = AK\,\left( {gt} \right)$

+ $AD$ chung

Suy ra $\Delta AHD = \Delta AKD\left( {ch - cgv} \right)$ nên A đúng

Từ đó ta có $HD = DK;\,\widehat {HAD} = \widehat {DAK}$  suy ra $AD$ là tia phân giác góc $HAK$ nên C đúng.

Ta có $AH = AK\left( {gt} \right)$ và $HA = DK\left( {cmt} \right)$ suy ra $AD$ là đường trung trực đoạn $HK$ nên B  đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Sử dụng định lý: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến  nên $AM$ cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác $ABC.$

• A.

  $AI > AK$

• B.

  $AI < AK$

• C.

  $AI = 2AK$

• D.

  $AI = AK$

• A.

  $\Delta AIK$là tam giác  cân tại B.

• B.

  $\Delta AIK$là tam giác vuông cân tại A.

• C.

  $\Delta AIK$là tam giác vuông

• D.

  $\Delta AIK$là tam giác đều

+) Dựa vào tính chất của các đường cao trong tam giác.

+) Dựa vào tính chất của tam giác cân.

+) Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.

Xét $\Delta ABC$ có $BD$  và $CE$  là hai đường cao cắt nhau tại $I$ suy ra $AI$  là đường cao của tam giác đó.

Mà $AI$  cắt $BC$  tại $M$  nên $AM \bot BC$.

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$  (gt) nên $AM$  là đường cao cũng chính là đường trung tuyến của tam giác đó. (tính chất của tam giác cân).

$\Rightarrow BM = MC$ (tính chất đường trung tuyến)

Vì $\left\{ \begin{array}{l}CE \bot AB\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}$.

Xét ${\Delta}BEC$ có $M$  là trung điểm của $BC$ nên suy ra $EM$  là trung tuyến của ${\Delta}BEC$

$\Rightarrow EM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 1 \right)$ (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Xét ${\Delta}BDC$ có $M$  là trung điểm của $BC$  nên $DM$  là trung tuyến của ${\Delta}BDC$

$\Rightarrow DM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 2 \right)$ (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow EM = DM \Rightarrow \Delta EMD$ cân tại $M$  (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

- Qua $H$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $F$, kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $E$.

- Chứng minh $\Delta AEH = \Delta HFA\,$$\Rightarrow EH = AF;\,AE = HF$ (hai cạnh tương ứng).

- Sử dụng quan hệ đường xiên – đường vuông góc  để chứng minh $BF > BH$,$CE > CH$.

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta AEH$ ta có: $AE + EH > HA$.

Từ đó lập luận suy ra điều phải chứng minh.

Qua $H$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $F$, kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $E$.

Vì $AE//HF$ (cách vẽ) nên $\widehat {EAH} = \widehat {FHA}$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Vì $AF//HE$ (cách vẽ) nên $\widehat {AHE} = \widehat {HAF}$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta HFA$ có:

$AH$ cạnh chung

$\widehat {EAH} = \widehat {FHA}\,\,(cmt)$

$\widehat {AHE} = \widehat {HAF}\,\,(cmt)$

$\Rightarrow \Delta AEH = \Delta HFA\,(g.c.g)$

$\Rightarrow EH = AF;\,AE = HF$ (hai cạnh tương ứng).

Vì $BH \bot AC$ và $FH//AC$ nên $BH \bot FH$.

Ta có: $BF;\,BH$ lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ $B$ đến $FH$ nên $BF > BH$ (quan hệ đường xiên – đường vuông góc).

Vì $CH \bot AB$ và $EH//AB$ nên $CH \bot EH$.

Ta có: $CE;\,CH$ lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ $C$ đến $EH$ nên $CE > CH$ (quan hệ đường xiên – đường vuông góc).

Xét $\Delta AEH$ có: $AE + EH > HA$ (bất đẳng thức tam giác)

Ta có: $AB + AC = AF + FB + AE + EC$

$\Rightarrow AB + AC = EH + FB + AE + EC$ (vì $AF = EH\,(cmt)$)

$\Rightarrow AB + AC = \left( {AE + EH} \right) + FB + EC > HA + HB + HC$.

Vậy $AB + AC > HA + HB + HC$.

Áp dụng tính chất tam giác vuông cân, tính chất đường cao của tam giác.

Vì $Mx \bot AB \Rightarrow \widehat {AMx} = {90^0}$

Xét $\Delta AMC$ có $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AMC} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\MA = MC\left( {gt} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {MCA} = {45^0}$ (tính chất tam giác vuông cân)

Do đó $\widehat {DCE} = \widehat {MCA} = {45^0}$ (đối đỉnh)

Xét $\Delta BMD$ có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BMD} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\MB = MD\left( {gt} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow \widehat {MBD} = \widehat {MDB} = {45^0}$(tính chất tam giác vuông cân)

Xét $\Delta CDE$ có: $\widehat {CDE} = \widehat {DCE} = {45^0}$ $\Rightarrow \widehat {CDE} + \widehat {DCE} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DEC} = {90^0}.$

Lại có: $\widehat {DEC} + \widehat {AEB} = {180^0}$ (kề bù) $\Rightarrow \widehat {AEB} = {180^0} - \widehat {DEC} = {180^0} - {90^0} = {90^0}$ .