Trắc nghiệm toán 7 bài 31 kết nối tri thức có đáp án — Không quảng cáo

- Áp dụng:

+ Định lý: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

+ Định lý: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

\(\Delta ABH\)  có \(\widehat A > \widehat B\,\,(gt)\) nên \(BH > AH\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

\(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat A + \widehat B = {90^o}\)               (1)

\(\Delta BCH\) vuông tại \(C\) nên \(\widehat {BHC} + \widehat B = {90^o}\)          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat A = \widehat {BHC}\).

Mặt khác \(\widehat A > \widehat B\,\,(gt)\) nên \(\widehat {BHC} > \widehat B\) suy ra \(CB > CH\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

- Từ tỉ lệ góc cho trước ta so sánh các góc

- Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác để so sánh các cạnh.

Từ đề bài ta có \(\widehat A:\widehat B:\widehat C = 3:5:7\) nên \(\dfrac{{\widehat A}}{3} = \dfrac{{\widehat B}}{5} = \dfrac{{\widehat C}}{7}\)\( \Rightarrow \widehat A < \widehat B < \widehat C\)

Vì \(\widehat A < \widehat B < \widehat C\) nên \(BC < AC < AB.\)

\(\Delta ABH\)  có \(\widehat A > \widehat B\,\,(gt)\) nên \(BH > AH\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

\(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat A + \widehat B = {90^o}\)               (1)

\(\Delta BCH\) vuông tại \(C\) nên \(\widehat {BHC} + \widehat B = {90^o}\)          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat A = \widehat {BHC}\).

Mặt khác \(\widehat A > \widehat B\,\,(gt)\) nên \(\widehat {BHC} > \widehat B\) suy ra \(CB > CH\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

- Tính độ dài các cạnh của tam giác

- Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác để so sánh các góc.

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\)

Chu vi tam giác $ABC$ là \(16\,cm\) nên ta có \(AB + AC + BC = 16 \Rightarrow 2AB = 16 - BC\)\( \Rightarrow 2.AB = 16 - 4\)

\( \Rightarrow 2.AB = 12\)\( \Rightarrow AB = 6\,cm\) nên \(AB = AC > BC\)

Vì \(AB = AC > BC\) nên \(\widehat C = \widehat B > \widehat A.\)

Áp dụng hai định lý:

- Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

- Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

$AB = AC$ (gt)

\(\widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)

\(BD = EC\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CAE}\) (2 góc tương ứng) nên A đúng.

Trên tia đối của tia $DA$  lấy điểm $F$  sao cho \(AD = DF\).

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta FDB\) có:

\(AD = DF\left( {gt} \right)\)

\(\widehat {ADE} = \widehat {BDF}\) (đối đỉnh)

\(BD = DE\left( {gt} \right)\)

$ \Rightarrow \Delta ADE = \Delta FDB\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {DAE} = \widehat {BFD}\\AE = BF\end{array} \right.$

Ta có: \(\widehat {AEC} = \widehat B + \widehat {BAD}\) (tính chất góc ngoài của tam giác)

\( \Rightarrow \widehat {AEC} > \widehat B = \widehat C\) nên trong \(\Delta AEC\) suy ra \(AE < AC\) (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\left( {gt} \right)\\BF = AE\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BF < AB\)

Xét \(\Delta ABF\) có: \(BF < AB\left( {cmt} \right)\) suy ra \(\widehat {BFA} > \widehat {FAB}\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Vậy \(\widehat {BAD} = \widehat {CAE} < \widehat {DAE}\) nên B, C đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

- Áp dụng tính chất tia phân giác của một góc.

- Chứng minh \(\widehat {MCB} > \widehat {NBC}\) .

- Áp dụng định lý: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Vì \(AB > AC \Rightarrow \widehat {ACB} > \widehat {ABC}\left( 1 \right)\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Vì $BN$  là phân giác của \(\widehat {ABC} \Rightarrow \widehat {NBC} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\left( 2 \right)\) (tính chất phân giác)

Vì $CM$  là phân giác của \(\widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {MCB} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}\left( 3 \right)\) (tính chất phân giác)

Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\) \(\Rightarrow \widehat {MCB} > \widehat {NBC}\,\,hay\,\,\,\widehat {ICB} > \widehat {IBC}.\)

Xét \(\Delta BIC\) có \(\widehat {MCB} > \widehat {NBC}\left( {cmt} \right) \Rightarrow IB > IC\) (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

- Chứng minh \(\Delta ABM = \Delta DCM\).

- Chứng minh \(DC < AC\).

- Áp dụng định lý: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Vì $M$  là trung điểm của $BC$  (gt) \( \Rightarrow MB = MC\) (tính chất trung điểm).

Ta có: \(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\) ($2$ góc đối đỉnh).

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\)có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AM = MD\left( {gt} \right)\\\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\left( {cmt} \right)\\BM = MC\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow AB = DC\left( 1 \right)\)  (2 cạnh tương ứng)

Lại có, \(AB < AC\left( {gt} \right)\left( 2 \right)\) . Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow DC < AC\).

Xét \(\Delta ADC\) có: \(DC < AC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {CAD} < \widehat {CDA}\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.

Chú ý rằng: Trong tam giác tù thì cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất trong tam giác.

Do \(\widehat A > 90^\circ  \Rightarrow \widehat {AEF} < 90^\circ  \) (vì $\widehat A +\widehat {AEF}+\widehat {AFE}=180^0$)

\(\Rightarrow \widehat {BEF} > 90^\circ \) \( \Rightarrow BF > EF\,\,\left( 1 \right)\) nên A đúng

Do \(\widehat A > 90^\circ  \Rightarrow \widehat {BFA} < 90^\circ \) (vì $\widehat A +\widehat {AEF}+\widehat {AFE}=180^0$)

\( \Rightarrow \widehat {BFC} > 90^\circ \) \( \Rightarrow BF < BC\,\left( 2 \right)\) nên C đúng

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(EF < BC\) nên B đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

+ Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AC = AE.\)

+ So sánh $CD$ với \(DE\) bằng cách sử dụng hai tam giác bằng nhau

+ So sánh $DE$ với \(BC\) theo quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác

+ Từ đó so sánh \(CD\) và \(BD.\)

Từ đề bài \(\widehat C > \widehat B \Rightarrow AB > AC.\) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AC = AE.\)

Xét tam giác \(ACD\) và tam giác \(AED\) có

+ \(AC = AE\)

+ \(\widehat {CAD} = \widehat {DAB}\) (tính chất tia phân giác)

+ Cạnh \(AD\) chung

Suy ra \(\Delta ACD = \Delta AED\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow DE = CD\,\,\left( 1 \right)\) và \(\widehat {AED} = \widehat {ACD}\)

Mà \(\widehat {ACD}\) là góc nhọn nên \(\widehat {AED}\) là góc nhọn, suy ra \(\widehat {BED} = 180^\circ  - \widehat {AED}\)  là góc tù, do đó \(\widehat {BED} > \widehat {EBD}\)

Xét tam giác \(BED\) có \(\widehat {BED} > \widehat {EBD}\) suy ra \(BD > DE\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(DC < BD.\)

- Tính số đo \(\widehat B\) và \(\widehat C\) của \(\Delta ABC\).

- Áp dụng định lý: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Xét \(\Delta ABC\) có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {70^0} = {110^0}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat B + \widehat C = {110^0}\,\,\,\left( 1 \right)\\\widehat B - \widehat C = {30^0}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ \(\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat C = \widehat B - {30^0}.\) Thế vào (1) ta được:

\(\widehat B + \widehat B - {30^0} = {110^0} \Rightarrow 2\widehat B = {140^0} \Rightarrow \widehat B = {70^0}\)

\( \Rightarrow \widehat C = {70^0} - {30^0} = {40^0}.\)

\( \Rightarrow \widehat C < \widehat B = \widehat A\)\( \Rightarrow AB < AC = BC.\) ( Định lí cạnh và góc đối diện trong tam giác)

- Tính và so sánh độ dài các cạnh của tam giác.

- Áp dụng định lý: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Xét \(\Delta ABC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB + AC = 10cm\,\,\,\left( 1 \right)\\AC - AB = 4cm\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

$ \Rightarrow AC = 10 - AB$ . Thế vào (2) ta được: \(10 - AB - AB = 4 \Rightarrow 2AB = 6 \Rightarrow AB = 3\,cm.\)

\( \Rightarrow AC = 10 - 3 = 7\,cm.\)

\( \Rightarrow AC > AB \Rightarrow \widehat B > \widehat C.\)

- Áp dụng định lý: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Vì trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn mà cạnh \(8\,cm\) là cạnh lớn nhất trong tam giác nên góc lớn nhất là góc đối diện với cạnh có độ dài \(8\,cm.\)

- Tính \(\widehat C\) và so sánh các góc của\(\Delta ABC\).

- Áp dụng định lý: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Xét  \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\( \Rightarrow \widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B = {180^0} - {35^0} - {90^0} = {55^0}\)

\( \Rightarrow \widehat A < \widehat C < \widehat B \Rightarrow BC < AB < AC\)

Áp dụng định lý: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Vì \(\Delta ABC\) có \(AC > BC > AB\) nên theo quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có \(\widehat B > \widehat A > \widehat C\) hay \(\widehat C < \widehat A < \widehat B\).