Bài 12 trang 106 SGK Toán 9 tập 1
Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB.
Đề bài
Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD=AB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) +) Sử dụng định lý: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
+) Sử dụng định lí Pytago: ΔABC, vuông tại A thì BC2=AC2+AB2.
b) Sử dụng định lý: Trong một đường tròn, hai dây cách đều nhau thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a) Kẻ OH⊥AB tại H
Khi đó, đường tròn (O) có OH là 1 phần đường kính vuông góc với dây AB tại H
Suy ra H là trung điểm của dây AB (Theo định lí 2 - trang 103)
⇒HA=HB=AB2=82=4cm.
Xét tam giác HOB vuông tại H, theo định lí Pytago, ta có:
OB2=OH2+HB2⇔OH2=OB2−HB2
⇔OH2=52−42=25−16=9⇒OH=3(cm).
Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 3cm.
b) Vẽ OK⊥CD tại K
Tứ giác KOHI có ba góc vuông (ˆK=ˆH=ˆI=900) nên là hình chữ nhật, suy ra OK=HI.
Ta có HI=AH−AI=4−1=3cm, suy ra OK=3cm.
Vậy OH=OK=3cm.
Hai dây AB và CD cách đều tâm nên chúng bằng nhau.
Do đó AB=CD.