Bài 12 trang 135 SGK Toán 9 tập 2
Một hình vuông và một hình tròn có chu vi bằng nhau. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn?
Đề bài
Một hình vuông và một hình tròn có chu vi bằng nhau. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Diện tích hình vuông cạnh \(a\) là: \(S=a^2.\)
+) Diện tích hình tròn bán kính \(r\) là: \(S=\pi r^2.\)
+) Chu vi hình vuông cạnh \(a\) là: \(C=4a.\)
+) Chu vi đường tròn bán kính \(r\) là: \(C=2\pi r.\)
Lời giải chi tiết
Giả sử gọi cạnh hình vuông là \(a\) và bán kính đường tròn là \(R.\)
Khi đó, chu vi hình vuông là \(4a\) và chu vi hình tròn là \(2πR.\)
Theo đề bài ra ta có: \(\displaystyle 4{\rm{a}} = 2\pi R \Rightarrow a = {{\pi R} \over 2}\)
Ta lập tỉ số diện tích hình vuông và hình tròn:
\(\displaystyle {{{S_{hv}}} \over {{S_{htr}}}} = {{{a^2}} \over {\pi {R^2}}}\) \(=\displaystyle {{{{\left( {{{\pi R} \over 2}} \right)}^2}} \over {\pi {R^2}}}\) \(\displaystyle ={{{\pi ^2}{R^2}} \over {4\pi {R^2}}} = {\pi \over 4} < 1\) (vì \(π ≈ 3,14\))
\(\Rightarrow {S_{hv}} < {S_{htr}}\)
Vậy hình tròn có diện tích lớn hơn hình vuông.