Bài 12 trang 133 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Quãng đường $AB$ gồm một đoạn lên dốc dài $4km$ và một đoạn xuống dốc dài $5km$. Một người đi xe đạp từ $A$ đến $B$ hết $40$ phút và đi từ $B$ về $A$ hết $41$ phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.

Lời giải chi tiết

Phân tích:

Gọi vận tốc lúc lên dốc là $x\left( {km/h} \right)$ và vận tốc lúc xuống dốc là $y\left( {km/h} \right)$  $\left( {x;y > 0} \right)$

Thời gian lên dốc một đoạn $4km$ là $\dfrac{4}{x}\left( h \right)$, thời gian xuống dốc một đoạn $5km$ là $\dfrac{5}{y}$ (h)

Thời gian đi từ $A$ đến $B$ là tổng thời gian lên dốc đoạn $4km$ và xuống dốc đoạn $5km$ là $40$phút$= \dfrac{2}{3}h$ nên ta có phương trình $\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = \dfrac{2}{3}\left( 1 \right)$

Thời gian lên dốc một đoạn $5km$ là $\dfrac{5}{x}\left( h \right)$, thời gian xuống dốc một đoạn $4km$ là $\dfrac{4}{y}$ (h)

Thời gian đi từ $B$ đến $A$ là tổng thời gian lên dốc đoạn $5km$ và xuống dốc đoạn $4km$ là $41$phút$= \dfrac{{41}}{{60}}h$ nên ta có phương trình $\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = \dfrac{2}{3}\\\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}\end{array} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = u\\\dfrac{1}{y} = v\end{array} \right.\,\left( {u;v \ne 0} \right)$  ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l}4u + 5v = \dfrac{2}{3}\\5u + 4v = \dfrac{{41}}{{60}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12u + 15v = 2\\300u + 240v = 41\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}192u + 240v = 32\\300u + 240v = 41\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}108u = 9\\12u + 15v = 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\12.\dfrac{1}{{12}} + 15v = 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)$

Thay lại cách đặt ta được $\left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{12}}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 15\end{array} \right.\left( {TM} \right)$

Vậy vận tốc khi xuống dốc là $15km/h$ và vận tốc khi lên dốc là $12km/h.$