Bài 14 trang 72 SGK Toán 9 tập 2
a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy
Đề bài
a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất tam giác cân
Chứng minh hai góc ở tâm bằng nhau để suy ra các cung bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Giả sử đường tròn (O) có đường IK và I là điểm chính giữa cung AB.
a) Vì I là điểm chính giữa của AB⏜, suy ra \overparen{IA} = \overparen{IB} ⇒ IA = IB
Ta có: OA = OB = bán kính. Suy ra đường kính IK là đường trung trực của dây AB. Vậy HA = HB (đpcm)
Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Chứng minh: Vì ∆ AOB cân tại O và HA = HB nên OH là đường phân giác của góc \widehat{AOB}. Suy ra \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}
Từ đó suy ra \overparen{IA} = \overparen{IB}
Tuy nhiên khi AB đi qua tâm thì điều này chưa chắc đúng vì nếu AB tạo với IK góc \widehat {AOI} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {BOI} = 150^\circ \Rightarrow \overparen{IA}<\overparen{IB} ( vì \widehat {AOI}<\widehat {BOI}
Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:
Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
b) Vì I là điểm chính giữa của \overparen{AB}, suy ra \overparen{IA} = \overparen{IB} ⇒ IA = IB
Ta có: OA = OB = bán kính. Suy ra đường kính IK là đường trung trực của dây AB
Nên OI hay IK là đường trung trực của dây AB. Suy ra IK \bot AB.
* Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Kẻ đường kính KI \bot AB.
Ta có OA = OB ⇒ ∆OAB cân tại O
Mà OH \bot AB nên OH là đường cao đồng thời là đường phân giác của \widehat{AOB} suy ra \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}
Ta có ∆OAI = ∆OBI (c.g.c). Do đó AI = IB. Suy ra \overparen{AI} = \overparen{IB}.
Vậy I là điểm chính giữa của \overparen{AB}