Bài 14 trang 77 SGK Toán 9 tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn $\alpha$ tùy ý, ta có:

a) $\tan \alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos \alpha};$   $\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha };$         $\tan \alpha . \cot \alpha =1$;

b) $\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1$

Gợi ý: Sử dụng định lý Py-ta-go.

Lời giải chi tiết

Xét $\Delta{ABC}$ vuông tại $A$, có $\widehat{ACB}=\alpha$.

+) $\Delta{ABC}$, vuông tại $A$, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin \alpha = \dfrac{AB}{BC}$,  $\cos \alpha =\dfrac{AC}{BC}$

$\tan \alpha =\dfrac{AB}{AC}$,    $\cot \alpha =\dfrac{AC}{AB}$.

* Chứng minh $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$VP=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{AB}{BC} : \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AB}{AC}= \tan \alpha =VT$

(Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)

* Chứng minh $\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

$VP=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{AC}{BC} : \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}. \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AC}{AB}=\cot \alpha=VT$

* Chứng minh $\tan \alpha . \cot \alpha =1$.

Ta có: $VT=\tan \alpha . \cot \alpha$

$= \dfrac{AB}{AC}.\dfrac{AC}{AB}=1=VP$

b) $\Delta{ABC}$ vuông tại $A$, áp dụng định lí Pytago, ta được:

$BC^2=AC^2+AB^2$   (1)

Xét $\sin ^{2} \alpha +\cos^{2}\alpha$

$\;\;\;={\left(\dfrac{AB}{BC} \right)^2}+ {\left(\dfrac{AC}{BC} \right)^2}= \dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}} = {{B{C^2}} \over {B{C^2}}} = 1$

Như vậy $\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1$ (điều phải chứng minh)

Nhận xét: Ba hệ thức:

$\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$;  $\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ và  $\sin^{2} \alpha +\cos^{2}  \alpha =1$ là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.