Bài 5 trang 132 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

$\displaystyle \left( {{{2 + \sqrt x } \over {x + 2\sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 2} \over {x - 1}}} \right).{{x\sqrt x  + x - \sqrt x  - 1} \over {\sqrt x }}.$

Lời giải chi tiết

ĐKXĐ: $0 < x ≠ 1$.

$\begin{array}{l} \left( {\dfrac{{2 + \sqrt x }}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}} \right).\dfrac{{x\sqrt x + x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\\ = \left[ {\dfrac{{2 + \sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\dfrac{{x\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{x + \sqrt x - 2 - \left( {x - \sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{x + \sqrt x - 2 - x + \sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }} = 2. \end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là $2$ và không phụ thuộc vào giá trị của biến $x.$