Giải bài 4.47 trang 21 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Khi nghiên cứu dịch sốt xuất huyết ở một địa phương, các chuyên gia y tế ước tính rằng tại ngày thứ \(m\) có \(F\left( m \right)\) người mắc bệnh (sau khi đã làm tròn đến chữ số hàng đơn vị). Biết rằng tốc độ lan truyền bệnh là \(F'\left( m \right) = \frac{{150}}{{2m + 1}}\) và ngày đầu tiên \(\left( {m = 0} \right)\) người ta phát hiện ra 50 bệnh nhân. Hãy xác định biểu thức của \(F\left( m \right)\) và số người mắc bệnh ở ngày thứ 10.
Đề bài
Khi nghiên cứu dịch sốt xuất huyết ở một địa phương, các chuyên gia y tế ước tính rằng tại ngày thứ \(m\) có \(F\left( m \right)\) người mắc bệnh (sau khi đã làm tròn đến chữ số hàng đơn vị). Biết rằng tốc độ lan truyền bệnh là \(F'\left( m \right) = \frac{{150}}{{2m + 1}}\) và ngày đầu tiên \(\left( {m = 0} \right)\) người ta phát hiện ra 50 bệnh nhân. Hãy xác định biểu thức của \(F\left( m \right)\) và số người mắc bệnh ở ngày thứ 10.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Từ giả thiết \(F'\left( m \right) = \frac{{150}}{{2m + 1}}\) và ngày đầu tiên \(\left( {m = 0} \right)\) người ta phát hiện ra 50 bệnh nhân ta tìm được \(F\left( m \right)\). Tính \(F\left( {10} \right)\) để biết số người mắc bệnh ở ngày thứ 10.
Lời giải chi tiết
Ta có \(F\left( m \right) = \int {F'\left( m \right)dm = \int {\frac{{150}}{{2m + 1}}dm = \frac{{150}}{2}} } \ln \left| {2m + 1} \right| + C = 75\ln \left| {2m + 1} \right| + C\)
Mặt khác ngày đầu tiên \(\left( {m = 0} \right)\) phát hiện ra 50 bệnh nhân do đó \(F\left( 0 \right) = 10\).
Suy ra \(75\ln \left| {2 \cdot 0 + 1} \right| + C = 50 \Leftrightarrow C = 50\). Do đó \(F\left( m \right) = 75\ln \left| {2m + 1} \right| + 50\).
Số người mắc bệnh ở ngày thứ 10 là
\(F\left( {10} \right) = 75\ln \left| {2 \cdot 10 + 1} \right| + 50 = 75\ln 21 + 50 \approx 278\)(bệnh nhân).