Giải bài 51 trang 27 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \cos \frac{x}{2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = \frac{\pi }{2}$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục $Ox$.

Lời giải chi tiết

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

$V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx}  = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + \cos x}}{2}dx}  = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} \right)dx}  = \left. {\pi \left( {\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{{\pi ^2} + 2\pi }}{4}$.