Giải bài 51 trang 66 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho mặt cầu (S) có phương trình: x2+(y+4)2+(z+5)2=49. a) Xác định toạ độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S). b) Điểm A(0;3;−5) có thuộc mặt cầu (S) hay không? c) Điểm B(1;−4;−1) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu (S)? d) Điểm C(7;3;−5) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \rig
Đề bài
Cho mặt cầu (S) có phương trình: x2+(y+4)2+(z+5)2=49.
a) Xác định toạ độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S).
b) Điểm A(0;3;−5) có thuộc mặt cầu (S) hay không?
c) Điểm B(1;−4;−1) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu (S)?
d) Điểm C(7;3;−5) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu (S)?
e) Lập phương trình tham số của đường thẳng IC.
g) Xác định toạ độ các giao điểm M,N của đường thẳng IC và mặt cầu.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Mặt cầu (S):(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2 có tâm I(a;b;c) bán kính R.
‒ Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và một điểm A.
+ Nếu IA<R: A nằm trong mặt cầu.
+ Nếu IA=R: A nằm trên mặt cầu.
+ Nếu IA>R: A nằm ngoài mặt cầu.
‒ Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương →u=(a;b;c) là: {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct.
Lời giải chi tiết
a) Mặt cầu x2+(y+4)2+(z+5)2=49 có tâm I(0;−4;−5) và bán kính R=√49=7.
b) Ta có: IA=√(0−0)2+(3−(−4))2+(−5−(−5))2=7=R.
Vậy A thuộc mặt cầu (S).
c) Ta có: IB=√(1−0)2+(−4−(−4))2+(−1−(−5))2=√17<R.
Vậy B nằm trong mặt cầu (S).
d) Ta có: IC=√(7−0)2+(3−(−4))2+(−5−(−5))2=√65>R.
Vậy C nằm ngoài mặt cầu (S).
e) Ta có →IC=(7;7;0)=7(1;1;0). Do đó →u=(1;1;0) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng IC.
Đường thẳng đi qua điểm I(0;−4;−5) và nhận →u=(1;1;0) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: {x=ty=−4+tz=−5.
g) Điểm M là giao điểm của đường thẳng IC và mặt cầu nên điểm M nằm trên đường thẳng IC. Vậy điểm M có toạ độ là: M(t;−4+t;−5)
Điểm M nằm trên mặt cầu nên ta có: t2+(−4+t+4)2+(−5+5)2=49 hay t2=492.
Suy ra t=7√22 hoặc t=−7√22.
Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng IC và mặt cầu là: M(7√22;−4+7√22;−5) và N(−7√22;−4−7√22;−5).