Giải bài 53 trang 67 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O\left( {0;0;0} \right)$ và bán kính 2.

a) Lập phương trình mặt cầu $\left( S \right)$.

b) Lấy các điểm $A\left( {1;0; - 1} \right)$ và $B\left( {1;1;0} \right)$. Lập phương trình đường thẳng $AB$. Tìm toạ độ các điểm $C$ và $D$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và mặt cầu $\left( S \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình của mặt cầu tâm $O\left( {0;0;0} \right)$ và bán kính 2 là:

${x^2} + {y^2} + {z^2} = {2^2}$ hay ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 4$.

b) Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {0;1;1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

Đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1;0; - 1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( {0;1;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.$.

Điểm $C$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và mặt cầu nên điểm $C$ nằm trên đường thẳng $AB$. Vậy điểm $C$ có toạ độ là: $C\left( {1;t; - 1 + t} \right)$

Điểm $C$ nằm trên mặt cầu nên ta có: ${1^2} + {t^2} + {\left( { - 1 + t} \right)^2} = 4$ hay $2{t^2} - 2t - 2 = 0$.

Suy ra $t = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$ hoặc $t = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$.

Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng $AB$ và mặt cầu là: $C\left( {1;\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)$ và $D\left( {1;\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)$.