Giải bài 52 trang 67 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Lập phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {3; - 4;5} \right)$ bán kính 9.

b) $\left( S \right)$ có tâm $K\left( { - 4;6;7} \right)$ và đi qua điểm $H\left( { - 5;4;5} \right)$.

c) $\left( S \right)$ có đường kính $AB$ với $A\left( {1;3; - 1} \right)$ và $B\left( { - 1; - 1; - 5} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình của mặt cầu tâm $I\left( {3; - 4;5} \right)$ bán kính 9 là:

${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = {9^2}$ hay ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 81$.

b) Bán kính của mặt cầu đó bằng:

$R = KH = \sqrt {{{\left( { - 5 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2} + {{\left( {4 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 7} \right)}^2}}  = 3$.

Vậy phương trình mặt cầu đó là:

${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = {3^2}$ hay ${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9$.

c) Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I\left( {0;1; - 3} \right)$ là trung điểm của $AB$.

Bán kính của mặt cầu đó bằng:

$R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}}  = 3$.

Vậy phương trình mặt cầu đó là:

${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {3^2}$ hay ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9$.