Giải bài 64 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = 5{rm{x}} - 2 + frac{1}{{x + 3}}); b) (y = - 7{rm{x}} + frac{{x - 1}}{{{x^2}}}); c) (y = frac{{{x^2} + 2{rm{x}}}}{{ - x + 2}}); d) (y = frac{{2{{rm{x}}^2} + 9{rm{x}}}}{{x + 1}});
Đề bài
Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) y=5x−2+1x+3;
b) y=−7x+x−1x2;
c) y=x2+2x−x+2;
d) y=2x2+9xx+1;
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính lim hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty
thì đường thẳng x = {x_0} là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận xiên y = ax + b\left( {a \ne 0} \right):
a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} và b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right] hoặc
a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} và b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]
Lời giải chi tiết
a) y = 5{\rm{x}} - 2 + \frac{1}{{x + 3}} = \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}}
Hàm số có tập xác định là \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}.
Ta có:
• \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} = + \infty
Vậy x = - 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = 5 và
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - 5x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} - 5x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} = - 2
Vậy đường thẳng y = 5{\rm{x}} - 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
b) y = - 7{\rm{x}} + \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}}
Hàm số có tập xác định là \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.
Ta có:
• \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}} = - \infty
Vậy x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^3}}} = - 7 và
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 7x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}} + 7x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0
Vậy đường thẳng y = - 7{\rm{x}} là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
c) Hàm số có tập xác định là \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.
Ta có:
• \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} = - \infty
Vậy x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{x\left( { - x + 2} \right)}} = - 1 và
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} = - 4
Vậy đường thẳng y = - x - 4 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
d) Hàm số có tập xác định là \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}.
Ta có:
• \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}} = - \infty
Vậy x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 2 và
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}} - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{7{\rm{x}}}}{{x + 1}} = 7
Vậy đường thẳng y = 2{\rm{x}} + 7 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.