Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc đặc biệt
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc đặc biệt (bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém (pi ), hơn kém (frac{pi }{2}), …)
1. Lý thuyết
+ Hai góc đối nhau \(\alpha \) và \( - \alpha \)
|
\(\sin ( - \alpha ) = - \sin \alpha \); |
\(\tan ( - \alpha ) = - \tan \alpha \) |
|
\(\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha \); |
\(\cot ( - \alpha ) = - \cot \alpha \) |
+ Hai góc phụ nhau \(\alpha \) và \({90^ \circ } - \alpha \)
|
\(\sin \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \cos \alpha \); |
\(\tan \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
|
\(\cos \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \sin \alpha \); |
\(\cot \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
+ Hai góc bù nhau \(\alpha \) và \({180^ \circ } - \alpha \)
|
\(\sin \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = \sin \alpha \); |
\(\tan \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \tan \alpha \) |
|
\(\cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \cos \alpha \); |
\(\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \cot \alpha \) |
+ Hai góc \(\alpha \) và \({90^ \circ } + \alpha \)
|
\(\sin \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = \cos \alpha \); |
\(\tan \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \cot \alpha \) |
|
\(\cos \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \sin \alpha \); |
\(\cot \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \tan \alpha \) |
+ Hai góc \(\alpha \) và \({180^ \circ } + \alpha \)
|
\(\sin \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = - \sin \alpha \); |
\(\tan \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
|
\(\cos \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = - \cos \alpha \); |
\(\cot \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
Chú ý: Với \(k \in \mathbb{Z}\), ta có:
|
\(\sin \left( {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \sin \alpha \); |
\(\tan \left( {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
|
\(\cos \left( {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cos \alpha \); |
\(\cot \left( {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, khi đó ta có
\(\sin A = \sin ({180^ \circ } - A) = \sin (B + C)\)
\(\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {{{90}^ \circ } - \frac{A}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)
Ví dụ 2. Tính các giá trị lượng giác \(\sin {570^ \circ },\cos ( - {1035^ \circ }),\tan ({1500^ \circ }).\)
\(\begin{array}{l}\sin {570^ \circ } = \sin ({360^ \circ } + {180^ \circ } + {30^ \circ }) = \sin ({180^ \circ } + {30^ \circ }) = - \sin {30^ \circ } = - \frac{1}{2}\\\cos ( - {1035^ \circ }) = \cos ( - {3.2.180^ \circ } + {45^ \circ }) = \cos ({45^ \circ }) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\tan ({1500^ \circ }) = \tan ({8.180^ \circ } + {60^ \circ }) = \tan ({60^ \circ }) = \sqrt 3 .\end{array}\)