Sự biến thiên của hàm số bậc hai.
(a > 0) Hàm số nghịch biến trên (( - infty ; - frac{b}{{2a}})), đồng biến trên (( - frac{b}{{2a}}; + infty ))
1. Lý thuyết
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)
|
Trên khoảng \(( - \infty ; - \frac{b}{{2a}})\) |
Trên khoảng \(( - \frac{b}{{2a}}; + \infty )\) |
|
|
\(a > 0\) |
Hàm số nghịch biến |
Hàm số đồng biến |
|
\(a < 0\) |
Hàm số đồng biến |
Hàm số nghịch biến |
+ Bảng biến thiên
+ Chú ý
Từ bảng biến thiên, ta thấy
Khi \(a > 0\), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\) tại \(x = - \frac{b}{{2a}}\) và hàm số có tập giá trị là \([ - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}; + \infty )\)
Khi \(a < 0\), hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\) tại \(x = - \frac{b}{{2a}}\) và hàm số có tập giá trị là \(( - \infty ; - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}]\)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\)
Hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\) có \(a = 1,b = 2,c = 2\)
\( \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.1}} = - 1;y( - 1) = {( - 1)^2} + 2.( - 1) + 2 = 1\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên \(( - 1; + \infty )\), nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\)
Ví dụ 2. Lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = - {x^2} + 2x\)
Hàm số \(y = - {x^2} + 2x\) có \(a = - 1,b = 2,c = 0\)
\( \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1;y(1) = - {1^2} + 2.1 = 1\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;1)\), nghịch biến trên \((1; + \infty )\)