Sự biến thiên của hàm số bậc hai - Hàm số đồng biến - Hàm số nghịch biến — Không quảng cáo

1. Lý thuyết

Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)$

+ Bảng biến thiên

+ Chú ý

Từ bảng biến thiên, ta thấy

Khi $a > 0$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $- \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}$ tại $x =  - \frac{b}{{2a}}$ và hàm số có tập giá trị là $[ - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}; + \infty )$

Khi $a < 0$, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $- \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}$ tại $x =  - \frac{b}{{2a}}$ và hàm số có tập giá trị là $( - \infty ; - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}]$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số $y = {x^2} + 2x + 2$

Hàm số $y = {x^2} + 2x + 2$ có $a = 1,b = 2,c = 2$

$\Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.1}} =  - 1;y( - 1) = {( - 1)^2} + 2.( - 1) + 2 = 1$

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên $( - 1; + \infty )$, nghịch biến trên $( - \infty ; - 1)$

Ví dụ 2. Lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y =  - {x^2} + 2x$

Hàm số $y =  - {x^2} + 2x$ có $a =  - 1,b = 2,c = 0$

$\Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1;y(1) =  - {1^2} + 2.1 = 1$

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên $( - \infty ;1)$, nghịch biến trên $(1; + \infty )$