Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 3.
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) (y = - {x^3} - 3{x^2} + 24x - 1); b) (y = {x^3} - 8{x^2} + 5x + 2); c) (y = {x^3} + 2{x^2} + 3x + 1); d) (y = - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 2).
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) (y = frac{{3{rm{x}} + 1}}{{{rm{x}} - 2}}); b) (y = frac{{2{rm{x}} - 5}}{{3{rm{x}} + 1}}); c) (y = sqrt {4 - {x^2}} ); d) (y = x - ln {rm{x}}).
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) (y = frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}); b) (y = frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}); c) (y = frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}); d) (y = frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}).
Tìm (m) để a) Hàm số (y = frac{{2{rm{x}} + m}}{{{rm{x}} - 1}}) đồng biến trên từng khoảng xác định. b) Hàm số (y = frac{{ - {x^2} + 3{rm{x}} + m}}{{{rm{x}} + 2}}) nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Đạo hàm (f'left( x right)) của hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị như Hình 4. Xét tính đơn điệu và tìm các điểm cực trị của hàm số (y = fleft( x right)).
Chứng minh rằng a) (tan x > x) với mọi (x in left( {0;frac{pi }{2}} right)); b) (ln x le x - 1) với mọi (x > 0).
Chứng minh rằng: a) Phương trình \({x^3} + 5{x^2} - 8{\rm{x}} + 4 = 0\) có duy nhất một nghiệm. b) Phương trình \( - {x^3} + 3{x^2} + 24x - 1 = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Tìm \(m\) để phương trình \(\frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}} = m\) có hai nghiệm phân biệt.
Một chất điểm chuyển động lên, xuống theo phương thẳng đứng. Độ cao \(h\left( t \right)\) của chất điểm tại thời điểm \(t\) (giây) được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 4{t^2} + 12t + 1\) với \(0 \le t \le 8\). a) Viết công thức tính vận tốc của chất điểm. b) Trong khoảng thời gian nào chất điểm chuyển động lên, trong thời gian nào chất điểm chuyển động đi xuống?
Độ cao (tính bằng mét) của tàu lượn siêu tốc so với mặt đất sau \(t\)(giây) \(\left( {0 \le t \le 20} \right)\) từ lúc bắt đầu được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = - \frac{4}{{255}}{t^3} + \frac{{49}}{{85}}{t^2} - \frac{{98}}{{17}}t + 20\). Trong khoảng thời gian nào tàu lượn đi xuống, trong khoảng thời gian nào tàu lượn đi lên?
Cho điểm \(A\) di động trên nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(MN = 20{\rm{ }}cm,\widehat {MOA} = \alpha \) với \(0 \le \alpha \le \pi \). Lấy điểm \(B\) thuộc nửa đường tròn và \(C,D\) thuộc đường kính \(MN\) được xác định sao cho \(ABCD\) là hình chữ nhật. Khi \(A\) di động từ trái sang phải, trong các khoảng nào của \(\alpha \) thì diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) tăng, trong các khoảng nào của \(\alpha \) thì diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) giảm?
Người ta thấy rằng trong vòng 3 năm tính từ đầu năm 2020, giá thành (P) của một loại sản phẩm vào tháng thứ (t) thay đổi theo công thức (Pleft( t right) = 80{t^3} - 3600{t^2} + 48000t + 100000) (đồng) với (0 le t le 36). Hãy cho biết trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm tăng, trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm giảm. Giá thành đạt cực đại và cực tiểu vào thời điểm nào?
Một cửa hàng ước tính số lượng sản phẩm \(q\left( {0 \le q \le 100} \right)\) bán được phụ thuộc vào giá bán \(p\) (tính bằng nghìn đồng) theo công thức \(p + 2q = 300\). Chi phí cửa hàng cần chi để nhập về \(q\) sản phẩm là \(C\left( q \right) = 0,05{q^3} - 5,7{q^2} + 295q + 300\) (nghìn đồng). a) Viết công thức tính lợi nhuận \(I\) của cửa hàng khi nhập về và bán được \(q\) sản phẩm. b) Trong khoảng nào của \(q\) thì lợi nhuận sẽ tăng khi \(q\) tăng, trong khoảng nào thì lợi nhuận giảm kh