Trắc nghiệm toán 7 bài 14 kết nối tri thức có đáp án — Không quảng cáo

• A.

  $\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD$

• B.

  $\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta BED$

• C.

  $DC = DE$

• D.

  $\Delta ABD = \Delta CBD$

• A.

  $EC < AM$

• B.

  $EC = AM$

• C.

  $EC > AM$

• D.

  Chưa đủ điều kiện để so sánh

• A.

  $\widehat {AEC} > \widehat {EAM}$

• B.

  $\widehat {AEC} < \widehat {EAM}$

• C.

  $\widehat {AEC} = \widehat {EAM}$

• D.

  Chưa đủ điều kiện so sánh

• A.

  $OB < OC$

• B.

  $OB = OC$

• C.

  $OB > OC$

• D.

  $OB \ge OC$

• A.

  $3\alpha$

• B.

  $4\alpha$

• C.

  $2\alpha$

• D.

  $\alpha$

• A.

  $AC = OB$

• B.

  $AC = BC$

• C.

  $\widehat {OAC} = \widehat {OBC}$

• D.

  $CO$ là tia phân giác của $\widehat {BCA}.$

• A.

  $120^\circ$

• B.

  $90^\circ$

• C.

  $60^\circ$

• D.

  ${100^0}$

• A.

  $CE \bot \;AB$

• B.

  $BD\; \bot AC$

• C.

  $DC = BC$

• D.

  Cả A, B đều đúng.

• A.

  ${60^0}$

• B.

  ${80^0}$

• C.

  $120^\circ$

• D.

  ${100^0}$

• A.

  $\Delta OAD = \Delta OCB$

• B.

  $\Delta ODA = \Delta OBC$

• C.

  $\Delta AOD = \Delta BCO$

• D.

  $\Delta OAD = \Delta OBC$ .

• A.

  $\widehat {CBD} = \widehat {CAD}$

• B.

  $\widehat {CBD} < \widehat {CAD}$

• C.

  $\widehat {CBD} > \widehat {CAD}$

• D.

  $\widehat {CBD} =2.\widehat {CAD}$ .

Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác

Xét tam giác $BAC$  và tam giác $KEF$  có $BA = EK,$ $\widehat A = \widehat K$, $CA = KF.$ suy ra $\Delta BAC = \Delta EKF$(c.g.c)

Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác.

Ta thấy hai tam giác $ABC$  và tam giác $MNP$ có hai yếu tố về góc  $\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N$.

Để tam giác $ABC$  và tam giác $MNP$ bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc thì cần thêm điều kiện về cạnh kề hai góc đã cho đó là $AB = MN.$

+ Từ tính chất đường thẳng song song, tính chất tia phân giác suy ra các cặp góc bằng nhau.

+ Dựa vào trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác và hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba để chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra các cặp cạnh bằng nhau.

Ta có:

$\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}}$ (hai góc so le trong)

$\widehat {{M_2}} = \widehat {{O_1}}$ (hai góc so le trong)

$\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}$(do Oz là tia phân giác của góc xOy)

Do đó $\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}$

Xét tam giác $AOM$  và tam giác $BOM$  có:

$\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}$(cmt)

$OM$  là cạnh chung

$\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}$(cmt)

$\Rightarrow \Delta AOM = \Delta BOM(g.c.g)$

Do đó $OA = OB;MA = MB$ (các cặp cạnh tương ứng).

+ Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Sử dụng tính chất của hai tam giác bằng nhau để suy ra các tính chất về cạnh, về góc tương ứng.

Xét hai tam giác $ABC$ và tam giác $AED$  có:

$AB = AB;$ $\widehat {BAD} = \widehat {BAC}$(hai góc đối đỉnh); $AD = DC,$

$\Rightarrow$$\Delta AED = \Delta ABC$ (A đúng).

$\Rightarrow$ $BC = BD$ (hai cạnh tương ứng) (B đúng);

$\widehat {ABC} = \widehat {ABD}$(hai góc tương ứng) (D đúng).

+ Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau ở ý trước suy ra hai góc tương ứng bằng nhau

+ Sau đó sử dụng tính chất hai góc kề bù hoặc góc ngoài để so sánh hai góc $\widehat {CAD}$ và $\widehat {CBD}.$

Xét tam giác $OAD$ và tam giác $OBC$ có

$OA = OB,$

$\widehat O$chung,

$OC = OD$

$\Rightarrow$$\Delta OAD = \Delta OBC$ ( c.g.c)

$\Rightarrow$$\widehat {OBC} = \widehat {OAD}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)

Lại có $\widehat {OBC} + \widehat {CBD} = 180^\circ ;\,\widehat {OAD} + \widehat {DAC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat {CBD} = 180^\circ  - \widehat {OBC}$ và $\widehat {CAD} = 180^\circ  - \widehat {OAD}$  mà $\widehat {OBC} = \widehat {OAD}$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\widehat {CBD} = \widehat {CAD}.$

Sử dụng tính chất tia phân giác, tính chất hai góc kề bù và định lý tổng ba góc trong tam giác.

Vì $BD$ và $CE$ là tia phân giác của góc $\widehat {ABC}$ và $\widehat {ACB}$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {CBD}$ và $\widehat {ACE} = \widehat {BCE}.$

Xét tam giác $ABD$ và tam giác $CBD$ có:

+ $AB = AC\,\left( {gt} \right)$

+ $\widehat {ABD} = \widehat {CBD}$ (cmt)

+ Cạnh $BD$ chung

Suy ra  $\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)$$\Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {BAC}$ (hai góc tương ứng) (1)

Tương tự ta có $\Delta BCE = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)$ $\Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {BAC}$ (hai góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có $\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB}$. Mà $\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (định lý tổng ba góc của tam giác) nên $\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ }}{3} = 60^\circ .$

Lại có $\widehat {ABD} = \widehat {CBD}$ (cmt) nên $\widehat {CBO} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$; $\widehat {ACE} = \widehat {BCE} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .$

Xét tam giác $BOC$ có $\widehat {BOC} + \widehat {OBC} + \widehat {OCB} = 180^\circ$ (định lý tổng ba góc của một tam giác)

Nên $\widehat {BOC} = 180^\circ  - 30^\circ  - 30^\circ  = 120^\circ .$

Vậy $\widehat {BOC} = 120^\circ .$

Dùng trường hợp bằng nhau thứ hai để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó có các cạnh và các góc tương ứng. Lập luận để có được $O$ là trung điểm của $EF$ để tính độ dài $EF.$

* Xét tam giác $OBC$ và $OAD$ có

+ $OA = OB\,\left( {gt} \right)$

+ $\widehat {AOD} = \widehat {BOC}$ (đối đỉnh)

+ $OC = OD\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow$$\Delta OAD = \Delta OBC\left( {c - g - c} \right)$ nên $\widehat {OAD} = \widehat {OBC}$  (hai góc tương ứng)

* Xét tam giác $OBF$ và $OAE$ có

+ $OA = OB\,\left( {gt} \right)$

+ $\widehat {OAD} = \widehat {OBC}$ (cmt)

+ $BF = AE\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow$$\Delta OBF = \Delta OAE\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow$$OE = OF$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat {AOE} = \widehat {FOB}$  (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {FOB} + \widehat {FOA} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) nên $\widehat {FOA} + \widehat {AOE} = 180^\circ$

$\Rightarrow$ 3 điểm $F;\,O;E$ thẳng hàng và $OE = OF$ nên $O$ là trung điểm của $EF \Rightarrow EF = 2.OE = 4\,cm.$

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau rồi dựa vào tính chất hai tam giác bằng nhau suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

Xét tam giác $ABE$ và tam giác $ADC$ có

+ $AD = AE\left( {gt} \right)$

+ Góc $A$ chung

+ $AB = AC\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow$ $\Delta ABE = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACD};\widehat {ADC} = \widehat {AEB}$ (hai góc tương ứng) và $BE = CD$ (hai cạnh tương ứng) nên A đúng.

Lại có $\widehat {ADC} + \widehat {BDC} = 180^\circ$; $\widehat {AEB} + \widehat {BEC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) mà $\widehat {ADC} = \widehat {AEB}$ (cmt)

$\Rightarrow$$\widehat {BDC} = \widehat {BEC}.$

Lại có $AB = AC;\,AD = AE\left( {gt} \right)$ $\Rightarrow AB - AD = AC - AE \Rightarrow BD = EC$ nên C đúng.

Xét tam giác $KBD$ và tam giác $KCE$ có

$\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\,\left( {cmt} \right)$

$BD = EC\,\left( {cmt} \right)$

$\widehat {BDC} = \widehat {BEC}\,\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow$ $\Delta KBD = \Delta KCE\left( {g - c - g} \right)$

$\Rightarrow KB = KC;\,KD = KE$ (hai cạnh tương ứng)  nên B đúng, D sai.

Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về góc của hai tam giác bằng nhau.

Xét tam giác $DEF$  và tam giác $HKG$  có $\widehat D = \widehat H$, $\widehat E = \widehat K$, $DE = HK,$ do đó $\Delta DEF = \Delta HKG$(g.C.g).

Do đó $\widehat G = \widehat F = {80^0}$ (hai góc tương ứng).

+ Dựa vào hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau

+ Từ các cặp cạnh tương ứng bằng nhau ta lập luận để suy ra mối quan hệ đúng.

Ta có: ${\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right)$

Mà ${\widehat A_1} + {\widehat B_2} = {90^0}$ (vì tam giác $ABD$  vuông tại $D.$)

$\Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat A_2}$  (cùng phụ với ${\widehat A_1}$).

Lại có ${\widehat A_2} + {\widehat C_1} = {90^0}$ (vì tam giác $ACE$  vuông tại $E$ )

$\Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}$ (cùng phụ với ${\widehat A_2}$).

Xét hai tam giác $BDA$  và $AEC$  có:

$\widehat {{B_2}} = \widehat {{A_2}}$; $AB = AC$ (gt) và$\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACE$ (g.c.g)

$\Rightarrow$ $BD = AE$ (hai cạnh tương ứng), $CE = AD$ (hai cạnh tương ứng).

Do đó $DE = AD + AE = CE + BD.$

• A.

  $\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta EBD$

• B.

  $\Delta ABD{\rm{ }} = \Delta BED$

• C.

  $DC = DE$

• D.

  $\Delta ABD = \Delta CBD$

• A.

  $EC < AM$

• B.

  $EC = AM$

• C.

  $EC > AM$

• D.

  Chưa đủ điều kiện để so sánh

• A.

  $\widehat {AEC} > \widehat {EAM}$

• B.

  $\widehat {AEC} < \widehat {EAM}$

• C.

  $\widehat {AEC} = \widehat {EAM}$

• D.

  Chưa đủ điều kiện so sánh

• A.

  $OB < OC$

• B.

  $OB = OC$

• C.

  $OB > OC$

• D.

  $OB \ge OC$

• A.

  $3\alpha$

• B.

  $4\alpha$

• C.

  $2\alpha$

• D.

  $\alpha$

Dùng trường hợp bằng nhau thứ hai để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó có các cạnh và các góc tương ứng. Lập luận để có được $O$ là trung điểm của $EF$ để tính độ dài $EF.$

* Xét tam giác $OBC$ và $OAD$ có

+ $OA = OB\,\left( {gt} \right)$

+ $\widehat {AOD} = \widehat {BOC}$ (đối đỉnh)

+ $OC = OD\left( {gt} \right)$

Suy ra $\Delta OAD = \Delta OBC\left( {c - g - c} \right)$ nên $\widehat {OAD} = \widehat {OBC}$  (hai góc tương ứng)

* Xét tam giác $OBF$ và $OAE$ có

+ $OA = OB\,\left( {gt} \right)$

+ $\widehat {OAD} = \widehat {OBC}$ (cmt)

+ $BF = AE\left( {gt} \right)$

Suy ra $\Delta OBF = \Delta OAE\left( {c - g - c} \right)$ nên $OE = OF$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat {AOE} = \widehat {FOB}$  (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {FOB} + \widehat {FOA} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) nên $\widehat {FOA} + \widehat {AOE} = 180^\circ$

Suy ra ba điểm $F;\,O;E$ thẳng hàng và $OE = OF$ nên $O$ là trung điểm của $EF \Rightarrow EF = 2.OE = 4\,cm.$

(I), (II) Dựa vào trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh các tam giác bằng nhau

(III)  Để chứng minh ba điểm $A,D,E$ thẳng hàng ta chứng minh $A$  có hai đường thẳng $AD,AE$ cùng song song với $BC.$

(IV)  Để chứng minh $A$  là trung điểm của $DE$  ta chứng minh $AD$ và $AE$ cùng bằng $BC$ do đó chúng bằng nhau.

(I) Xét $\Delta AMD$ và $\Delta BMC$ có: $DM = MC\left( {gt} \right);$ $\widehat {BMC} = \widehat {AMD}$ (hai góc đối đỉnh); $AM = BM\left( {gt} \right),$ nên $\Delta AMD = \Delta BMC$(c.g.c).

(II) Xét $\Delta ANE$ và $\Delta CNB$ có: $AN = NC\left( {gt} \right);$ $\widehat {ANE} = \widehat {CNB}$(hai góc đối đỉnh), $NB = NE\left( {gt} \right),$ do đó

$\Delta CNB = \Delta ANE$(c.g.c).

(III) Do $\Delta AMD = \Delta BMC$ nên $\widehat D = \widehat {{C_1}}$(hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AD//BC.$

Do  $\Delta CNB = \Delta ANE$nên $\widehat E = \widehat {{B_1}}$(hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AE//BC.$

Như vậy qua $A$  có hai đường thẳng $AD,AE$ cùng song song với $BC.$

Do đó $D,A,E$ thẳng hàng. (1)

(IV) Ta có: $AD = BC$ (do $\Delta AMD = \Delta BMC$); $AE = BC$ (do $\Delta CNB = \Delta ANE$) nên $AD = AE\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $A$  là trung điểm của $DE.$

Vậy cả (I); (II); (III); (IV) đều đúng.

• A.

  $AC = OB$

• B.

  $AC = BC$

• C.

  $\widehat {OAC} = \widehat {OBC}$

• D.

  $CO$ là tia phân giác của $\widehat {BCA}.$

• A.

  $120^\circ$

• B.

  $90^\circ$

• C.

  $60^\circ$

• D.

  ${100^0}$

• A.

  $CE \bot \;AB$

• B.

  $BD\; \bot AC$

• C.

  $DC = BC$

• D.

  Cả A, B đều đúng.

• A.

  ${60^0}$

• B.

  ${80^0}$

• C.

  $120^\circ$

• D.

  ${100^0}$

Sử dụng hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh từ đó suy ra $AM = BM.$

Đường trung trực của $AB$ vuông góc với $AB$ tại trung điểm $E$ . Do đó $ME \bot AB;\,EA = EB.$

Xét tam giác $MEA$ và tam giác $MEB$ có $EA = EB\,\left( {cmt} \right),$ $\widehat {MEA} = \widehat {MEB} = 90^\circ ,$ cạnh $ME$ chung nên $\Delta MEA = \Delta MEB\,\left( {c - g - c} \right)$ suy ra $MA = MB$ (hai cạnh tương ứng).

Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để suy ra $\widehat {BED} = \widehat {BAD} = 90^\circ$ và lập luận để chỉ ra $\widehat {EDC} = \widehat {ABC}.$

Xét hai tam giác $BDA$  và $BDE$  có:$BA = BE\left( {gt} \right),$ $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (do $BD$ là tia phân giác của góc B);

$BD$ là cạnh chung. Suy ra $\Delta BDA = \Delta BDE$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {BED} = \widehat {BAD} = {90^ \circ }$ (hai góc tương ứng)

Trong các tam giác $ABC$ và $EDC$ vuông ở $A$ và $E,$ ta có:

$\widehat {ABC} + \widehat C = {90^ \circ }$  và $\widehat {EDC} + \widehat C = {90^ \circ }$, suy ra $\widehat {EDC} = \widehat {ABC}$.

+Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau  từ đó suy ra hai góc tương ứng bằng nhau.

Xét tam giác $DEF$  và tam giác $HKG$  có $DE = HK$ , $\widehat E = \widehat K$, $EF = KG.$

do đó $\Delta DEF = \Delta HKG$ (c.g.c).

Do đó $\widehat H = \widehat D = {70^0}$ (hai góc tương ứng).

• A.

  $\Delta OAD = \Delta OCB$

• B.

  $\Delta ODA = \Delta OBC$

• C.

  $\Delta AOD = \Delta BCO$

• D.

  $\Delta OAD = \Delta OBC$ .

• A.

  $\widehat {CBD} = \widehat {CAD}$

• B.

  $\widehat {CBD} < \widehat {CAD}$

• C.

  $\widehat {CBD} > \widehat {CAD}$

• D.

  $\widehat {CBD} =2.\widehat {CAD}$ .

Xét tam giác $BAC$  và tam giác $KEF$  có $BA = EK,$ $\widehat A = \widehat K$, $CA = KF.$ Suy ra $\Delta BAC = \Delta EKF$ (c.g.c)

Để tam giác $ABC$  và tam giác $MHK$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh cần thêm điều kiện về cạnh kề đó là:$AC = MK.$

Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của  tam giác ta thấy cần thêm điều kiện về góc kề cạnh đó là  $\widehat C = \widehat M.$

Sử dụng hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác này bằng cạnh huyền và góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Xét tam giác $ABC$  và tam giác $MNP$  có  $\widehat B = \widehat N = {90^ \circ }$, $AC = MP$, $\widehat C = \widehat M$ , do đó  $\Delta ABC = \Delta PNM$ (cạnh huyền – góc nhọn)

+Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về góc của hai tam giác bằng nhau.

Xét tam giác $DEF$  và tam giác $HKG$  có $\widehat D = \widehat H$, $\widehat E = \widehat K$, $DE = HK,$ do đó $\Delta DEF = \Delta HKG$(g.c.g).

Do đó $\widehat G = \widehat F = {80^0}$ (hai góc tương ứng).

+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về cạnh của hai tam giác bằng nhau.

Xét tam giác $ABC$  và tam giác $DEF$ có $AB = DE,$ $\widehat B = \widehat E$ , $\widehat A = \widehat D$ , do đó $\Delta ABC = \Delta DEF\,\left( {g - c - g} \right)$.

Do đó $DF = AC = 6cm$ (hai cạnh tương ứng).

+ Dựa vào hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau

+ Từ các cặp cạnh tương ứng bằng nhau ta lập luận để suy ra mối quan hệ đúng.

Ta có: ${\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right)$

Mà ${\widehat A_1} + {\widehat B_2} = {90^0}$ vì tam giác $ABD$  vuông tại $D.$

$\Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat A_2}$  (cùng phụ với ${\widehat A_1}$).

Lại có ${\widehat A_2} + {\widehat C_1} = {90^0}$ vì tam giác $ACE$  vuông tại $E$

$\Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}$ (cùng phụ với ${\widehat A_2}$).

Xét hai tam giác vuông $BDA$  và $AEC$  có:

$\widehat D = \widehat E = {90^0}$; $AB = AC$ (gt) và $\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACE$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $BD = AE$ (hai cạnh tương ứng), $CE = AD$ (hai cạnh tương ứng).

Do đó $DE = AD + AE = CE + BD.$

+ Từ tính chất của hai đường song song suy ra các cặp góc bằng nhau, từ đó dựa vào trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các tam giác bằng nhau

+ Từ các cặp cạnh bằng nhau ta tìm mối liên hệ giữa chúng để suy ra điều phải chứng minh

Xét tam giác $DEF$  và tam giác $FBD$  có:

$\widehat {{D_1}} = \widehat {{F_1}}$ (hai góc so le trong).

$DF$ là cạnh chung

$\widehat {{F_2}} = \widehat {{D_2}}$ (hai góc so le trong).

Vậy $\Delta DEF = \Delta FBD\,\,\,(g.c.g)$

Suy ra $EF = BD$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $AD = BD$ nên $EF = AD$

Ta có : $\widehat {{F_3}} = \widehat B$ (hai góc đồng vị); $\widehat {{D_3}} = \widehat B$ (hai góc đồng vị)

$\Rightarrow \widehat {{D_3}} = \widehat {{F_3}}\left( { = \widehat B} \right).$.

Xét tam giác $ADE$ và tam giác $EFC$  có:

$\widehat {{D_3}} = \widehat {{F_3}}$(cmt)

$\widehat A = \widehat {{E_1}}$(hai góc đồng vị)

$AD = EF\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \Delta ADE = \Delta EFC\,\,\,(g.c.g).$  (1)

Tương tự ta chứng minh được $\Delta EFC = \Delta DBF\,\,\,(g.c.g)$     (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta ADE = \Delta EFC = \Delta DBF$                      (3)

+ Kẻ tia phân giác của $\widehat {BIC}$ cắt $BC$ tại $H$

+ Sử dụng tính chất tia phân giác, định lí tổng ba góc của một tam giác chứng minh $\widehat {CID} = \widehat {BIE} = \widehat {BIH} = \widehat {HIC} = 60^\circ$.

+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: “Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” ta chứng minh $\Delta BIE = \Delta BIH$, $\Delta CID = \Delta CIH$.

+ Từ đó ta tính được độ dài $ID$.

Vì $BD$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ nên $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC}$

Vì $CE$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}$ nên $\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB}$

Xét $\Delta ABC$ có: $\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (tổng ba góc của một tam giác bằng $180^\circ$)

Mà $\widehat A = 60^\circ$ nên $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ  - \widehat A = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ$

Ta lại có: $\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} + \dfrac{1}{2}\widehat {ACB} = \dfrac{1}{2}(\widehat {ABC} + \widehat {ACB}) = \dfrac{1}{2}.120^\circ  = 60^\circ$

Xét $\Delta BIC$ có $\widehat {BIC} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ$ (tổng ba góc của một tam giác bằng $180^\circ$)

Mà $\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 60^\circ$ nên $\widehat {BIC} = 180^\circ  - (\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}}) = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ$

Mặt khác: $\widehat {BIC} + \widehat {BIE} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) $\Rightarrow \widehat {BIE} = 180^\circ  - \widehat {BIC} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ$

Khi đó $\widehat {CID} = \widehat {BIE} = 60^\circ$ (hai góc đối đỉnh)  $(1)$

Kẻ tia phân giác của $\widehat {BIC}$ cắt $BC$ tại $H$

Suy ra $\widehat {BIH} = \widehat {HIC} = \dfrac{1}{2}.\widehat {BIC} = \dfrac{1}{2}.120^\circ  = 60^\circ$$(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\widehat {CID} = \widehat {BIE} = \widehat {BIH} = \widehat {HIC}$

Xét tam giác $BIE$ và tam giác $BIH$ có:

$\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (cmt)

$BI$ là cạnh chung

$\widehat {BIE} = \widehat {BIH}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta BIE = \Delta BIH \,(g.c.g) \Rightarrow IE = IH$ (hai cạnh tương ứng) $(3)$

Xét tam giác $CID$ và tam giác $CIH$ có:

$\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}$ (cmt)

$CI$ là cạnh chung

$\widehat {CID} = \widehat {HIC}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta CID = \Delta CIH \,(g.c.g) \Rightarrow ID = IH$ (hai cạnh tương ứng) $(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $ID = IE = 2cm$

+ Kẻ đoạn thẳng $AD$.

+ Từ tính chất của hai đường thẳng song song suy ra các cặp góc bằng nhau.

+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: “Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” để chứng minh $\Delta ABD = \Delta DCA$. Từ đó suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

Kẻ đoạn thẳng $AD$

Vì $AB//CD$ (gt) nên $\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}$ (hai góc so le trong)

Vì $AC//BD$ (gt) nên $\widehat {{A_2}} = \widehat {{D_2}}$ (hai góc so le trong)

Xét tam giác $ABD$ và tam giác $DCA$ có:

$\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}$ (cmt)

$AD$ là cạnh chung

$\widehat {{A_2}} = \widehat {{D_2}}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta DCA\,(g.c.g) \Rightarrow AB = CD$ (hai cạnh tương ứng); $AC = BD$ (hai cạnh tương ứng)