Trắc nghiệm toán 8 bài 21 kết nối tri thức có đáp án — Không quảng cáo

Dựa vào khái niệm phân thức đại số: Một phân thức đại số (hay nói gọn là một phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó $A,\,B$ là hai đa thức và $B$ khác đa thức 0.

$\frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}$ có $A = 1;\,B = {x^2} + 1 > 0\forall x \Rightarrow \frac{1}{{{x^2} + 1}}$ là phân thức đại số

$\frac{{x + 3}}{5}$ có $A = x + 3;\,B = 5 \Rightarrow \frac{{x + 3}}{5}$ là phân thức đại số

${x^2} - 3x + 1$ có $A = {x^2} - 3x + 1;\,B = 1 \Rightarrow {x^2} - 3x + 1$ là phân thức đại số

$\frac{{{x^2} + 4}}{0}$ có $A = {x^2} + 4;\,B = 0 \Rightarrow \frac{{{x^2} + 4}}{0}$ không là phân thức đại số

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $AD = BC$.

$\begin{array}{l}\frac{{ - {x^2}y}}{{3xy}} = \frac{{ - x}}{3};\,\frac{{xy}}{{3y}} = \frac{x}{3}\\\frac{{ - x}}{3} \ne \frac{x}{3} \Rightarrow \frac{{ - {x^2}y}}{{3xy}} \ne \frac{{xy}}{{3y}}\\\frac{{ - {x^2}y}}{{xy}} =  - x;\,\frac{{3y}}{{xy}} = \frac{3}{x}\\ - x \ne \frac{3}{x} \Rightarrow \frac{{ - {x^2}y}}{{xy}} \ne \frac{{3y}}{{xy}}\\\frac{3}{{24x}} = \frac{1}{{8x}};\,\frac{{2y}}{{16xy}} = \frac{1}{{8x}} \Rightarrow \frac{3}{{24x}} = \frac{{2y}}{{16xy}}\\\frac{{3{x^2}y}}{{5y}} = \frac{{3{x^2}}}{5} \ne \frac{{3xy}}{5} \Rightarrow \frac{{3xy}}{5} \ne \frac{{3{x^2}y}}{{5y}}\end{array}$

Dựa vào khái niệm phân thức đại số: Một phân thức đại số (hay nói gọn là một phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó $A,\,B$ là hai đa thức và $B$ khác đa thức 0. $A$ được gọi là tử thức (hoặc tử) và $B$ được gọi là mẫu thức (hoặc mẫu).

$\frac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}$ có mẫu là ${x^2} + 2$; $\frac{{x - 5}}{{x + 2}}$ có mẫu là $x + 2$

Vì ${x^2} + 2 \ne x + 2$ nên $\frac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}$ và $\frac{{x - 5}}{{x + 2}}$ không có mẫu giống nhau

$\frac{{3y}}{{7{y^2}}}$ có mẫu là $7{y^2}$; $\frac{{6y}}{{14y}}$ có mẫu là $14y$

Vì $7{y^2} \ne 14y$ nên $\frac{{3y}}{{7{y^2}}}$ và $\frac{{6y}}{{14y}}$ không có mẫu giống nhau

$\frac{{5x}}{{4x + 6}}$ có mẫu là $4x + 6$; $\frac{{x + 3}}{{2\left( {2x + 3} \right)}}$ có mẫu là $2\left( {2x + 3} \right)$

Vì $4x + 6 = 2\left( {2x + 3} \right)$ nên $\frac{{5x}}{{4x + 6}}$ và $\frac{{x + 3}}{{2\left( {2x + 3} \right)}}$ có mẫu giống nhau

$\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ có mẫu là ${x^2} + x + 1$; $\frac{{2x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}$ có mẫu là ${x^2} - x + 1$

Vì ${x^2} + x + 1 \ne {x^2} - x + 1$ nên $\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ và $\frac{{2x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}$ không có mẫu giống nhau

Dựa vào điều kiện xác định của phân thức: Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức $B$ khác 0.

Phân thức $\frac{{5{\rm{x}} - 7}}{{{x^2} - 9}}$ có nghĩa khi ${x^2} - 9 \ne 0$ hay $x \ne  \pm 3$

Tìm điều kiện xác định của phân thức: Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức $B$ khác 0.

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $AD = BC$.

Điều kiện: $5 - 3x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{5}{3}$

Để $\frac{{7x + 2}}{{5 - 3x}} = \frac{{11}}{7} \Leftrightarrow \left( {7x + 2} \right)7 = 11\left( {5 - 3x} \right) \Leftrightarrow 49x + 14 = 55 - 33x$

$\Leftrightarrow 82x = 41 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

Tìm điều kiện xác định của phân thức: Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức $B$ khác 0.

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $AD = BC$.

Điều kiện: ${x^2} - 2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$

Ta có: $\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow$$\left[ \begin{array}{l}x = 1(L)\\x =  - 1(TM)\end{array} \right.$

Vậy có 1 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $AD = BC$.

$\begin{array}{l}\left( {5x + 5} \right)x = 5\left( {x + 1} \right)x = 5x\left( {x + 1} \right) \Rightarrow \frac{{5x + 5}}{{5x}} = \frac{{x + 1}}{x}\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^2} - 2x + 2x - 4 = {x^2} - 4 \Rightarrow \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = x - 2\\\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) = {x^2} + 3x - 3x - 9 = {x^2} - 9 \Rightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \frac{1}{{x - 3}}\\5.5x = 25x \ne 5x + 5 \Rightarrow \frac{{5x + 5}}{{5x}} \ne 5\end{array}$

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $AD = BC$.

A. $- \frac{{x - 3}}{{3 + x}} = \frac{{ - \left( {x - 3} \right)}}{{3 + x}} = \frac{{ - x + 3}}{{3 + x}} = \frac{{3 - x}}{{3 + x}}$

B.

$\begin{array}{l}\left( {3 - x} \right)\left( {9 - {x^2}} \right) = \left( {3 - x} \right)\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right) = {\left( {3 - x} \right)^2}\left( {3 + x} \right)\\\left( {{x^2} + 6x + 9} \right)\left( {3 + x} \right) = {\left( {3 + x} \right)^2}\left( {3 + x} \right) = {\left( {3 + x} \right)^3}\\ \Rightarrow \frac{{3 - x}}{{3 + x}} \ne \frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{9 - {x^2}}}\\\end{array}$

C.

$\begin{array}{l}\left( {9 - {x^2}} \right)\left( {3 + x} \right) = \left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)\left( {3 + x} \right) = \left( {3 - x} \right){\left( {3 + x} \right)^2}\\ \Rightarrow \frac{{9 - {x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}} = \frac{{3 - x}}{{3 + x}}\end{array}$

D.

$\begin{array}{l}\left( { - 3 - x} \right)\left( {3 - x} \right) = \left( { - 1} \right)\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right) = \left( {3 + x} \right)\left( {x - 3} \right)\\ \Rightarrow \frac{{3 - x}}{{3 + x}} = \frac{{x - 3}}{{ - 3 - x}}\end{array}$

Dựa vào điều kiện xác định của phân thức: Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức $B$ khác 0.

Phân thức $\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 4x + 5}}$ xác định khi và chỉ khi ${x^2} + 4x + 5 \ne 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ne  - 1$

(luôn đúng vì ${\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\forall x$)

Vậy phân thức xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $AD = BC$.

Ta có: $a{x^4}{y^4}.4y = 4a{x^4}{y^5}$ và $- 4x{y^2}.{x^3}{y^3} =  - 4{x^4}{y^5}$

Để $\frac{{a{x^4}{y^4}}}{{ - 4x{y^2}}} = \frac{{{x^3}{y^3}}}{{4y}}$thì $4a{x^4}{y^5} =  - 4{x^4}{y^5}$.

Do đó $4a =  - 4$ nên $a =  - 1$

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $AD = BC$.

Với $x \ne  \pm \frac{3}{2}$ ta có: $\frac{M}{{2x - 3}} = \frac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}} \\ M\left( {4{x^2} - 9} \right) = \left( {6{x^2} + 9x} \right)\left( {2x - 3} \right)$

$M\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right) = 3x\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right)\\M = 3x$

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $AD = BC$.

$\begin{array}{l}\frac{{\left( {5x + 3} \right)P}}{{5x - 3}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)Q}}{{25{x^2} - 9}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {5x + 3} \right)P}}{{5x - 3}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)Q}}{{\left( {5x + 3} \right)\left( {5x - 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {5x + 3} \right)P\left( {5x + 3} \right)\left( {5x - 3} \right) = \left( {2x - 1} \right)Q\left( {5x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {5x + 3} \right)^2}P = \left( {2x - 1} \right)Q\\ \Rightarrow \frac{P}{Q} = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {5x + 3} \right)}^2}}}\end{array}$

Tìm điều kiện xác định của phân thức: Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức $B$ khác 0.

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $AD = BC$.

Điều kiện:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 1 \ne 0\\{x^2} + x + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ne 0\\{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ne 0\,\left( {\forall x} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \ne 1\end{array}$

Ta có: $\frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{ - 2\left( {x - 1} \right):\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right):\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{ - 2}}{{{x^2} + x + 1}};$

$\frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow  - 2 = 2x + 2 \Leftrightarrow x =  - 2$

Nhân cả 2 vế với số dương 3 ta được điều kiện cần tìm.

$\frac{{2x - 5}}{3} < 0 \Rightarrow 2x - 5 < 0 \Leftrightarrow 2x < 5 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}$

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $AD = BC$.

Phân thức cần tìm có dạng là $\frac{{{x^2} - {y^2}}}{A}$

Ta có: $\frac{1}{{x - y}} = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{A} \Leftrightarrow A.1 = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)$

$\Leftrightarrow A = \left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow A = {\left( {x - y} \right)^2}\left( {x + y} \right)$

Vậy phân thức cần tìm là $\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}$

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với 3.

Ta có: $\frac{{\frac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \frac{4}{3}}} = \frac{{3\left( {\frac{1}{3}x - 2} \right)}}{{3\left( {{x^2} - \frac{4}{3}} \right)}} = \frac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}$

Để tìm giá trị lớn nhất của phân thức $A = \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}$ cần tìm giá trị nhỏ nhất của mẫu thức ${x^2} - 2x + 5$.

Ta có: ${x^2} - 2x + 5 = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4$

Vì ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\forall x$ nên ${\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\forall x$ hay ${x^2} - 2x + 5 \ge 4$

$\Rightarrow \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}} \le \frac{{16}}{4} \Leftrightarrow A \le 4$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Vậy với $x = 1$ thì $A$ đạt giá trị lớn nhất là 4.

Biến đổi để phân thức hai vế có cùng mẫu từ đó so sánh.

Do $a > b > 0$ nên $a - b > 0;\,a + b > 0 \Rightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) > 0$

Ta có: $\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}} = \frac{{a + b}}{{a - b}}$

Nhân cả tử và mẫu của phân thức với $\left( {a - b} \right)$ ta được:

$\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right)}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} < \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}$ (do $0 < {a^2} - {b^2} < {a^2} + {b^2}$)

Từ biểu thức $4{a^2} + {b^2} = 5ab$ tìm mối liên hệ giữa $a$ và $b$ từ đó tính được giá trị của biểu thức $A = \frac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}}$.

Ta có: $4{a^2} + {b^2} = 5ab \Leftrightarrow 4{a^2} - 5ab + {b^2} = 0 \Leftrightarrow 4{a^2} - 4ab - ab + {b^2} = 0$

$\Leftrightarrow 4a\left( {a - b} \right) - b\left( {a - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {4a - b} \right)\left( {a - b} \right) = 0$

Do $2a > b > 0 \Rightarrow 4a > b \Rightarrow 4a - b > 0$

$\Rightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b$

Vậy $A = \frac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}} = \frac{{a.a}}{{4{a^2} - {a^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{3{a^2}}} = \frac{1}{3}$