Trắc nghiệm toán 8 bài 4 chương 1 chân trời sáng tạo có đáp án — Không quảng cáo

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}15{x^3} - 5{x^2} + 10x\\ = \;5x.3{x^2} - \;5x.x + \;5x.2\\ = \;5x({3{x^2} - x + 2}) \end{array}$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}{x^2}\;-xy + x-y\\ = x(x - y) + (x - y)\\ = (x + 1)(x - y)\end{array}$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

Ta dễ dàng nhận thấy ${x^2} + 2x.3 + {3^2}$

${x^2} + 6x + 9 = {({x + 3}) ^2}$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử, dựa vào hằng đẳng thức ${A^2} - {B^2} = {A - B} {A + B}$; sau đó giải phương trình để tìm x.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{*{20}{l}}{2 - 25{x^2} = 0\;}\\{ \Leftrightarrow (\sqrt 2  - 5x)(\sqrt 2  + 5x) = 0}\\\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2  - 5x = 0\\\sqrt 2  + 5x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 2 }}{5}\\x = \frac{{ - \sqrt 2 }}{5}\end{array} \right.\end{array}\end{array}$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có

+) ${\left( {x-1} \right)^3} + 2{\left( {x-1} \right)^2}$

$= {\left( {x-1} \right)^2}\left( {x-1} \right) + 2{\left( {x-1} \right)^2}\\ = {\left( {x-1} \right)^2}(x-1 + 2\\ = {\left( {x-1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)$

nên A đúng

+) ${{{\left( {x-1} \right)}^3} + 2\left( {x-1} \right)}$

${ = \left( {x-1} \right).{{\left( {x-1} \right)}^2} + 2\left( {x-1} \right)}\\ = \left( {x-1} \right)[{\left( {x-1} \right)^2} + 2]$

nên B đúng

+) ${{{\left( {x-1} \right)}^3} + 2{{\left( {x-1} \right)}^2}}$

${ = \left( {x-1} \right){{\left( {x-1} \right)}^2} + 2\left( {x-1} \right)\left( {x-1} \right)}\\{ = \left( {x-1} \right)[{{\left( {x-1} \right)}^2} + 2\left( {x-1} \right)]}\\ = \left( {x-1} \right)[{\left( {x-1} \right)^2} + 2x-2]$

nên C đúng

+) ${{{\left( {x-1} \right)}^3} + 2{{\left( {x-1} \right)}^2}}$

${ = {{\left( {x-1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}\\ \ne \left( {x-1} \right)\left( {x + 3} \right)$

nên D sai

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức ${A^2} - {B^2} = ({A - B}) ({A + B})$ để thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{37^2} - {13^2}\\ = ({37 - 13}) ({37 + 13}) \\ = 24.50\\ = 1200\end{array}$

Phương pháp giải :

Sử dụng kết hợp phương pháp nhóm hạng tử và dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Lời giải chi tiết :

${x^2} - 2xy + {y^2}{\rm{ -  }}81\; = \;\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - 81$ (nhóm 3 hạng tử đầu để xuất hiện bình phương một hiệu)

$= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y} \right)^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}{9^2}$ (áp dụng hằng đẳng thức ${A^2} - {\rm{ }}{B^2} = {\rm{ }}\left( {A{\rm{ }} - {\rm{ }}B} \right)\left( {A{\rm{ }} + {\rm{ }}B} \right)$)

$= {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} - {\rm{ }}9} \right)\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}9} \right)$.

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử rồi mới thay số vào tính.

Lời giải chi tiết :

${x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}{y^2}{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}{y^2}\;$ (nhóm hạng tử)

$= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}{y^2}$ (áp dụng hằng đẳng thức)

$= {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}y} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)$

Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức, ta được:

$\begin{array}{l}\left( {{\rm{94,5 }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} - 4,5} \right)\left( {{\rm{94,5 }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ 4,5}}} \right)\\ = 91.100\\ = 9100\end{array}$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung của biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{30{{\left( {4-2x} \right)}^2}\; + 3x-6 = 30{{\left( {2x-4} \right)}^2}\; + 3\left( {x-2} \right)}\\{ = {{30.2}^2}\left( {x-2} \right) + 3\left( {x-2} \right)}\\{ = 120{{\left( {x-2} \right)}^2}\; + 3\left( {x-2} \right)}\\{ = 3\left( {x-2} \right)\left( {40\left( {x-2} \right) + 1} \right) = 3\left( {x-2} \right)\left( {40x-79} \right)}\end{array}$

Nhân tử chung có thể là $3(x - 2)$.

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức ${x^5} + {x^3} + {x^2} + 1$ thành nhân tử rồi sau đó thực hiện phép chia.

Lời giải chi tiết :

Vì

$\begin{array}{*{20}{l}}{{x^5} + {x^3} + {x^2}\; + 1}\\{ = {x^3}\left( {{x^2}\; + 1} \right) + {x^2}\; + 1}\\{ = \left( {{x^2}\; + 1} \right)\left( {{x^3}\; + 1} \right)}\end{array}$

nên

$\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{x^5}\; + {x^3}\; + {x^2}\; + 1} \right):\left( {{x^3}\; + 1} \right)}\\{ = \left( {{x^2}\; + 1} \right)\left( {{x^3}\; + 1} \right):\left( {{x^3}\; + 1} \right)}\\{ = \left( {{x^2}\; + 1} \right)}\end{array}$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung; sau đó giải phương trình để tìm x.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}4\left( {x - 5} \right) - {\rm{ 2}}x\left( {{\rm{5 }} - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {x - {\rm{ 5}}} \right)\; + \;2x\left( {x - {\rm{ 5}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - {\rm{ 5}}} \right)\left( {{\rm{4}} + 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\4 + 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 5 - 2 = 3\end{array}$

Phương pháp giải :

Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Lời giải chi tiết :

Ta có:

+) ${x^2} - 6x + 9 = {x^2} - 2.3x + {3^2} = {(x - 3)^2}$ nên A đúng .

+) $\frac{{{x^2}}}{4} + 2xy + 4{y^2} = {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}.2.\frac{x}{2}.2y + {\left( {2y} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{2} + 2y} \right)^2}$ nên B sai, C đúng.

+) $4{x^2} - 4xy + {y^2} = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.y + {y^2} = {(2x - y)^2}$ nên D đúng.

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}{x^3} + 2{x^2} - 9x - 18 = 0\\ \Leftrightarrow ({x^3} + 2{x^2}) - (9x - 18) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}(x + 2) - 9(x - 2) = 0\\ \Leftrightarrow ({x^2} - 9)(x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 3)(x + 3)(x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 3 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 3\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Theo đề ra ta có:

$\begin{array}{l}3{x^3} - 8{x^2} - 41x + 30\\ = 3{x^3} - 2{x^2} - 6{x^2} + 4x - 45x + 30\\ = \left( {3{x^3} - 2{x^2}} \right) - \left( {6{x^2} - 4x} \right) - \left( {45x - 30} \right)\\ = {x^2}(3x - 2) - 2x(3x - 2) - 15(3x - 2)\\ = ({x^2} - 2x - 15)(3x - 2)\\ = ({x^2} + 3x - 5x - 15)(3x - 2)\\ = \left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right) - \left( {5x + 15} \right)} \right](3x - 2)\\ = \left[ {x(x + 3) - 5(x + 3)} \right](3x - 2)\\ = (3x - 2)(x - 5)(x + 3)\end{array}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức: ${A^2} - {B^2} = (A - B)(A + B)$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {3{x^2} + 3x - 5} \right)^2} - {\left( {3{x^2} + 3x + 5} \right)^2}\\ = (3{x^2} + 3x - 5 - 3{x^2} - 3x - 5)(3{x^2} + 3x - 5 + 3{x^2} + 3x + 5)\\ =  - 10(6{x^2} + 6x)\\ =  - 10.6x(x + 1)\\ =  - 60x(x + 1)\\ = mx(x + 1)\\ \Rightarrow m =  - 60 < 0\end{array}$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử và sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}A = {x^4} + 3{x^3} - 27x - 81\\ = ({x^4} - 81) + (3{x^3} - 27x)\\ = ({x^2} - 9)({x^2} + 9) + 3x({x^2} - 9)\\ = ({x^2} - 9)({x^2} + 3x + 9)\end{array}$

Ta có: ${x^2} + 3x + 9 = {x^2} + 2.\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} + \frac{{27}}{4} \ge \frac{{27}}{4} > 0,\forall x$

Mà $\left| x \right| < 3 \Leftrightarrow {x^2} < 9 \Leftrightarrow {x^2} - 9 < 0$

$\Rightarrow A = ({x^2} - 9)({x^2} + 3x + 9) < 0$ khi $\left| x \right| < 3$.

Phương pháp giải :

Biến đổi để phân tích đa thức thành nhân tử bằng đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}B = 5.101,5 - 50.0,15\\ = 5.101,5 - 5.1,5\\ = 5(101,5 - 1,5)\\ = 5.100\\ = 500\end{array}$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}{(3{x^2} + 6x - 18)^2} - {(3{x^2} + 6x)^2}\\ = (3{x^2} + 6x - 18 - 3{x^2} - 6x)(3{x^2} + 6x - 18 + 3{x^2} + 6x)\\ =  - 18(6{x^2} + 12x - 18)\\ =  - 18.6({x^2} + 2x - 3)\\ =  - 108({x^2} + 2x - 3)\\ =  - 108({x^2} - x + 3x - 3)\\ =  - 108\left[ {x(x - 1) + 3(x - 1)} \right]\\ =  - 108(x + 3)(x - 1)\end{array}$

Khi đó, m = -108; n = 3 $\Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{{ - 108}}{3} =  - 36$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{B = {x^3}\; + 3{x^2}y + 3x{y^2}\; + {y^3}\; + {x^2}\; + 2xy + {y^2}}\\{ = \left( {{x^3}\; + 3{x^2}y + 3x{y^2}\; + {y^3}} \right) + \left( {{x^2}\; + 2xy + {y^2}} \right)}\\{ = {{\left( {x + y} \right)}^3}\; + {{\left( {x + y} \right)}^2}\; = {{\left( {x + y} \right)}^2}\left( {x + y + 1} \right)}\end{array}$

Vì $x = 20-y$ nên $x + y = 20$. Thay $x + y = 20$ vào $B = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {x + y + 1} \right)$ ta được:

$B = {\left( {20} \right)^2}\left( {{\rm{20 }} + 1} \right) = 400.21 = 8400$.

Vậy $B > 8300$ khi $x = 20-y$.

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức ${A^2} - {B^2} = (A - B)(A + B)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k-1;2k + 1(k \in N*)$

Theo bài ra ta có:

${\left( {2k + 1} \right)^{2}}-{\left( {2k-1} \right)^{2}} = 4{k^2} + 4k + 1-4{k^2} + 4k-1 = 8k \vdots 8,\forall k \in \mathbb{N}*$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}5{x^2} - 10x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 5({x^2} - 2x + 1) = 0\\ \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2}\;-4{y^2}\;-2x-4y}\\{ = \left( {{x^2}\;-4{y^2}} \right)-\left( {2x + 4y} \right)}\\{ = \left( {x-2y} \right)\left( {x + 2y} \right)-2\left( {x + 2y} \right)}\\{ = \left( {x + 2y} \right)\left( {x-2y-2} \right)}\end{array}$

Suy ra m = 2, n = -2

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) + \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right) + x-1\\\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) + \left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right) + \left( {x-1} \right)}\\{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)\left[ {\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) + \left( {x-2} \right) + 1} \right]}\\{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)\left[ {\left( {x-2} \right)\left( {x-3 + 1} \right) + 1} \right]}\\{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)\left[ {\left( {x-2} \right)\left( {x-2} \right) + 1} \right]}\\{ \Leftrightarrow A = \left( {x-1} \right)[{{\left( {x-2} \right)}^2}\; + 1]}\end{array}\end{array}$

Tại x = 5, ta có:

$A = \left( {5-1} \right)[{\left( {5-2} \right)^2}\; + 1] = 4.({3^2}\; + 1) = 4.\left( {9 + 1} \right) = 4.10 = 40$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-4{{\left( {x-2} \right)}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-{{\left[ {2\left( {x-2} \right)} \right]}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-{{\left( {2x-4} \right)}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {2x-5 + 2x-4} \right)\left( {2x-5-2x + 4} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {4x-9} \right).\left( { - 1} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow  - 4x + 9 = 0}\\{ \Leftrightarrow 4x = 9}\\{ \Leftrightarrow x = \;\frac{9}{4}}\end{array}$

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}A = {x^6} - {x^4} - x({x^3} - x)\\ = {x^3}.{x^3} - {x^3}.x - x\left( {{x^3} - x} \right)\\ = {x^3}({x^3} - x) - x({x^3} - x)\\ = \left( {{x^3} - x} \right)\left( {{x^3} - x} \right)\\ = {\left( {{x^3} - x} \right)^2}\end{array}$

Với ${x^3} - x = 9$, giá trị của biểu thức $A = {9^2} = 81$

Phương pháp giải :

Phân tích biểu thức A thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A = {7^{19}} + {7^{20}} + {7^{21}}\\ = {7^{19}} + {7^{19}}.7 + {7^{19}}{.7^2}\\ = {7^{19}}.(1 + 7 + {7^2})\\ = {7^{19}}.57\end{array}$

Do ${7^{19}} \vdots 7 \Rightarrow {7^{19}}.57 \vdots 7$ (A sai)

Ta có ${7^{19}}$ là số lẻ, 57 là số lẻ nên tích ${7^{19}}.57$ là số lẻ $\Rightarrow {7^{19}}.57$ không chia hết cho 2. (B sai)

A chia hết cho 57. (C đúng)

A chia hết cho 57 nhưng A không chia hết cho 2 nên A không chia hết cho 57.2 = 114 (D sai)

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}4{\left( {2x-5} \right)^2}\;-9{(4{x^2}\;-25)^2}\; = 0\\\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 4{{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-9{{[{{\left( {2x} \right)}^2}\;-{5^2}]}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow 4{{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-9{{\left[ {\left( {2x-5} \right)\left( {2x + 5} \right)} \right]}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow 4{{\left( {2x-5} \right)}^2}\;-9{{\left( {{\rm{2x }}-5} \right)}^2}{{\left( {2x + 5} \right)}^2}\; = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {2x-5} \right)}^2}[4-9{{\left( {2x + 5} \right)}^2}] = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {2x-5} \right)}^2}[4-{{\left( {3\left( {2x + 5} \right)} \right)}^2}] = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {2x-5} \right)}^2}({2^2}\;-{{\left( {6x + 15} \right)}^2}) = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {2x-5} \right)}^2}\left( {2 + {\rm{ 6}}x + 15} \right)\left( {2-{\rm{ 6}}x-15} \right) = 0}\\\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2x-5} \right)^2}\left( {6x + 17} \right)\left( { - 6x-13} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\x = \frac{{ - 17}}{6}\\x = \frac{{-13}}{6}\end{array} \right.\end{array}\end{array}\end{array}$

Suy ra ${x_1} + {x_2} + {x_3} = \frac{5}{2} - \frac{{17}}{6} + \frac{{-13}}{6} = \frac{{15 - 17 - 13}}{6} = \frac{-5}{2}$

Phương pháp giải :

Sử dụng đẳng thức đặc biệt ${a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; - 3abc = \;\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - bc - ac} \right)$;

Lời giải chi tiết :

Từ đẳng thức đã cho suy ra ${a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; - 3abc = 0$

${b^3}\; + {c^3}\; = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2}\; + {c^2}\; - bc} \right)$$= \left( {b + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2}\; - 3bc} \right]$$= {\left( {b + c} \right)^3}\; - 3bc\left( {b + c} \right)$$\Rightarrow {a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; - 3abc = {a^3}\; + \left( {{b^3}\; + {c^3}} \right) - 3abc$$= {a^3}\; + {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right) - 3abc$$= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - \left[ {3bc\left( {b + c} \right) + 3abc} \right]$$= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - 3bc\left( {a + b + c} \right)$$= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}\; - 3bc} \right)$$= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; - ab\; - ac + {b^2}\; + 2bc + {c^2}\; - 3bc} \right)$$= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - ac - bc} \right)$

Do đó nếu ${a^3}\; + \left( {{b^3}\; + {c^3}} \right) - 3abc = 0$ thì $a + b + c\; = 0$ hoặc ${a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - ac - bc = 0$

Mà ${a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - ac - bc = \left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2}\; + {{\left( {a - c} \right)}^2}\; + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]$

Nếu ${\left( {a - b} \right)^2}\; + {\left( {a - c} \right)^2}\; + {\left( {b - c} \right)^2}\; = 0 \Leftrightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - b = 0}\\{b - c = 0}\\{a - c = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow a = b = c$

Vậy ${a^3}\; + \left( {{b^3}\; + {c^3}} \right) = 3abc$ thì $a = b = c$ hoặc $a + b + c = 0$.