Trắc nghiệm toán 8 bài 4 chương 3 chân trời sáng tạo có đáp án — Không quảng cáo

Phương pháp giải :

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất của hình bình hành và tổng các góc trong của hình bình hành bằng \({360^o}\).

Lời giải chi tiết :

Trong hình bình hành các cạnh đối song song các góc đối bằng nhau: \(\widehat A = \widehat C{;^{}}\widehat B = \widehat D\) và \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^o}\) nên hai góc kề nhau có tổng bằng \({180^o}\)

Phương pháp giải :

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Trong hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Phương pháp giải :

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành.

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của hình bình hành

Lời giải chi tiết :

Trong hình bình hành các góc đối bằng nhau: \(\widehat A = \widehat C;\widehat B = \widehat D\) và \(\widehat A + \widehat B = {180^o}\)

Nên \(\widehat A = \widehat C = {120^o};\widehat B = \widehat D = {60^o}\)

Hình bình hành có các góc đối bằng nhau

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta {{AOF  =  }}\Delta {{COE}}\) suy ra AF = CE.

Lời giải chi tiết :

\(\Delta {{AOF  =  }}\Delta {{COE}}\) (g – c – g) suy ra AF = CE

Phương pháp giải :

Chứng minh tứ giác AHCK có AH = CK; AH // CK suy ra AHCK là hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác AHB và CKD có: \(\widehat {AHB} = \widehat {CK{{D}}} = {90^o}\); AB = CD; \(\widehat {ABH} = \widehat {C{{D}}K}\)

\( \Rightarrow \Delta AHB = \Delta CK{{D}} \Rightarrow AH = CK(1)\)

Lại có: \(AH \bot B{{D}};CK \bot B{{D}} \Rightarrow AH//CK(2)\)

Từ (1), (2) suy ra AHCK là hình bình hành.

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính chu vi của hình bình hành ABCD và tam giác ABD suy ra độ dài cạnh BD.

Lời giải chi tiết :

Vì chu vi của hình bình hành ABCD bằng 10 cm nên:

AB + BC + CD + DA = 10

\( \Rightarrow AB + DA = 5\)

Chu vi của tam giác ABD bằng 9 cm nên: \(AB + B{{D}} + DA = 9 \Rightarrow B{{D}} = 4cm\)

Phương pháp giải :

Dựa vào dấu hiệu nhận biết để xét các tứ giác.

Lời giải chi tiết :

+ Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD // BC

+ Xét tam giác AEFD có AE = FD; AE // FD (do AB // CD) nên AEFD là hình bình hành.

+ Xét tứ giác BEFC có BE = FC; BE // FC (do AB // CD) nên BEFC là hình bình hành

+ Xét tứ giác AECF có AE = FC; AE // FC (do AB // CD) nên AEFC là hình bình hành

+ Xét tứ giác BEDF có BE = FD, BE //FD (do AB // CD) nên BEDF là hình bình hành

+ Vì AECF là hình bình hành nên AF // EC ⇒ EH // GF; vì BEDF là hình bình hành nên ED // BF ⇒ EG // HF

Suy ra EGHF là hình bình hành

Vậy có tất cả 6 hình bình hành: ABCD; AEFD; BEFC; AECF; BEDF; EGHF

Phương pháp giải :

Chứng minh BFDE là hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD; AB = CD

+ Xét tứ giác BEDF có BE =FD; BE // FD (do AB // CD) nên BFDE là hình bình hành.

Từ đó: DE = BF (tính chất hình bình hành)

Phương pháp giải :

Xét các trường hợp và điều kiện của hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Trong hình bình hành có các góc đối nhau và tổng các góc trong hình bình hành phải bằng 360 ⁰ nên ta có:

60 ⁰ .2 + 120 ⁰ .2 = 360 ⁰

40 ⁰ .2 + 50 ⁰ .2 = 180 ⁰ ≠ 360 ⁰

130 ⁰ .2 + 50 ⁰ .2 = 360 ⁰

105 ⁰ .2 + 75 ⁰ .2 = 360 ⁰

Do đó hai góc kề của hình bình hành không thể có số đo 40 ⁰ ; 50 ⁰

Phương pháp giải :

Chứng minh tứ giác BHCD có BH // CD và HC // BD nên BHCD là hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Gọi BK, CI là các đường cao của tam giác ABC. Khi đó BK ⊥ AC; CI ⊥ AB hay BH ⊥ AC; CH ⊥ AB (vì H là trực tâm).

Lại có BD ⊥ AB; CD ⊥ AC (giả thiết) nên BD // CH (cùng vuông với AB) và CD // BH (cùng vuông với AC)

Suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành

Phương pháp giải :

Chứng minh tứ giác MNPQ có PQ // NM; PQ = MN suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Nối AC.

Xét tam giác EAC suy ra MN // AC; \(MN = \frac{1}{2}AC\) (1)

Xét tam giác FAC suy ra PQ // AC; \(PQ = \frac{1}{2}AC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra PQ // NM; PQ = MN nên MNPQ là hình bình hành.

Phương pháp giải :

Gọi độ dài hai cạnh của hình bình hành là a và b với a, b > 0

Áp dụng tính chất của dãy tir số bằng nhau để tìm độ dài các cạnh.

Lời giải chi tiết :

Gọi độ dài hai cạnh của hình bình hành là a và b với a, b > 0

Theo bài ra ta có: \(\frac{a}{3} = \frac{b}{5}\)

Nửa chu của hình bình hành là: 48 : 2 = 24cm

Suy ra: a + b = 24cm. Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{{a + b}}{{3 + 5}} = \frac{{24}}{8} = 3\)

⇒ a = 3.3 = 9; b = 3.5 = 15

Vậy hai cạnh của hình bình hành là 9cm và 15cm

Phương pháp giải :

Chứng minh tứ giác AECF có hai đường chéo AC và EF cắt nhau tại giao điểm của hai đường chéo.

Lời giải chi tiết :

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có OA = OC, OB = OD

Mà BE = DF (gt) ⇒ OE = FO.

Tứ giác AECF có hai đường chéo AC và EF cắt nhau tại trung điểm O nên AECF là hình bình hành

⇒ FA = CE

Phương pháp giải :

Tính góc BHC suy ra góc IHK. Sử dụng tính chất của hình bình hành BHCD suy ra số đó góc BDC.

Lời giải chi tiết :

Xét tứ giác AIHK có:

\(\widehat A + \widehat {AIH} + \widehat {IHK} + \widehat {AKH} = {360^o}\) (định lí tổng các góc trong của tứ giác)

\( \Rightarrow \widehat {AHK} = {360^o} - {50^o} - {90^o} - {90^o} = {130^o}\)

Suy ra: \(\widehat {BHC} = \widehat {IHK} = {130^o}\) (hai góc đối đỉnh)

Vì tứ giác BHCD là hình bình hành nên: \(\widehat {B{{D}}C} = \widehat {BHC} = {130^o}\)

Vậy \(\widehat {B{{D}}C} = {130^o}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của hình bình hành chứng minh ED = FE = FB

Lời giải chi tiết :

Vì \(AK = \frac{{AB}}{2};IC = \frac{{C{{D}}}}{2}\) (gt) mà AB = CD (cạnh đối hình bình hành) nên

AK = IC

Vì AB // CD (gt), K Є AB, I Є DC ⇒ AK // IC

Tứ giác AKCI có AK // IC, AK = IC (cmt) nên là hình bình hành. Suy ra AI // CK.

Mà E Є AI, F Є CK ⇒ EI // CF, KF // AE

Xét ΔDCF có: DI = IC (gt); IE // CF (cmt) ⇒ ED = FE (1)

Xét ΔABE có: AK = KB (gt), KF // AE (cmt) ⇒ EF = FB (2)

Từ (1) và (2) suy ra ED = FE = FB

Phương pháp giải :

Chứng minh ADME có AD = ME; AD // ME nên ADME là hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Vì \(E{\rm{A}} = EC(gt),MB = MC(gt)\)

Vì \(ME//AB\) và \(ME = \frac{{AB}}{2}\)

Lại có: \(A{\rm{D}} = DB = \frac{{AB}}{2} \Rightarrow A{\rm{D}} = ME\) nên ADME là hình bình hành.

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Ta có ABCD là hình bình hành nên \(\widehat A + \widehat B = {180^o}\) mà \(\widehat A - \widehat B = {20^o} \Rightarrow \widehat A = {100^o}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của hình bình hành

Lời giải chi tiết :

Tứ giác ABCD là hình bình hành nên \(\widehat A + \widehat B = {180^o}\) mà \(\widehat A = 3\widehat B\)

\( \Rightarrow 4\widehat B = {180^o} \Rightarrow \widehat B = {45^o};\widehat A = {135^o}\)

Trong hình bình hành ABCD có các góc đối bằng nhau nên \(\widehat A = \widehat C = {135^o};\widehat B = \widehat D = {45^o}\)

Phương pháp giải :

Chứng minh tứ giác QMNP có hai đường chéo QN, PM giao nhau tại trung điểm O mỗi đường.

Lời giải chi tiết :

Nối EF; EP, FQ, EM, PM, QN. Gọi O là giao của QN và EF.

Xét tam giác CED ta có:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{FN = \frac{1}{2}DE = EQ}\\{FN//E{\rm{D}} \Rightarrow {\rm{FN//EQ}}}\end{array}} \right.\)

⇒ NFQE là hình bình hành nên hai đường chéo QN và EF giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra O là trung điểm của QN và EF (1)

Xét tam giác ABF ta có:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{EM = \frac{1}{2}BF = PF}\\{EM//BF \Rightarrow EM//PF}\end{array}} \right.\)

⇒ EMFB là hình bình hành nên hai đường chéo PM và EF giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà O là trung điểm của EF nên O cũng là trung điểm của PM (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác QMNP có hai đường chéo QN, PM giao nhau tại trung điểm O mỗi đường nên QMNP là hình bình hành

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh AK = KI = IC

Lời giải chi tiết :

Gọi O là giao điểm của AC, BD

Vì ABCD là hình bình hành nên AC, BD giao nhau tại trung điểm O mỗi đường, hay \(AO = CO = \frac{{AC}}{2}\)

Xét tam giác ABD có BE, AO là đường trung tuyến cắt nhau tại K nên K là trọng tâm ΔABD.

Suy ra \(AK = \frac{2}{3}AO = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}AC = \frac{1}{3}AC\) (1)

Xét tam giác CBD có DF, CO là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I nên I là trọng tâm ΔCBD.

Suy ra \(CI = \frac{2}{3}CO = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}AC = \frac{1}{3}AC\) (2)

Lại có:

\(\begin{array}{l}AK + KI + CI = AC\\ \Rightarrow KI = AC - AK - CI\\ = AC - \frac{1}{3}AC - \frac{1}{2}AC = \frac{1}{3}AC(3)\end{array}\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AK = KI = IC

Phương pháp giải :

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình thoi

Lời giải chi tiết :

Câu A, C, D đúng theo dấu hiệu nhận biết hình thoi.

Câu B sai vì 2 đường chéo không cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Phương pháp giải :

: Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình thoi

Lời giải chi tiết :

Vì tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất của hình thoi

Lời giải chi tiết :

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành

+ Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ngoài ra còn có

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau.

+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất của hình thoi

Lời giải chi tiết :

Hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo, hai trục đối xứng là hai đường chéo của hình thoi.

Phương pháp giải :

Quan sát các hình để nhận biết hình thoi

Lời giải chi tiết :

Hình 1 là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau.

Hình 2 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau.

Hình 3 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau.

Phương pháp giải :

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình thoi

Lời giải chi tiết :

Vì theo dấu hiệu nhận biết hình thoi

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc bằng nhau nhưng bốn cạnh không bằng nhau nên không là hình thoi.

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất của hình thoi

Lời giải chi tiết :

Chu vi hình thoi bằng cạnh nhân 4.

Vậy cạnh hình thoi là 32 : 4 = 8 cm.

Phương pháp giải :

Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình thoi .

Lời giải chi tiết :

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi (đúng theo định nghĩa hình thoi)

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của hình thoi và áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC = 10cm, BD = 24cm.

Do ABCD là hình thoi nên \(AC \bot BD\)

\(\begin{array}{l}AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.10 = 5cm\\HB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}.24 = 12cm\end{array}\)

Xét tam giác AH vuông tại H ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {5^2} + {12^2} = 25 + 144 = 169.\)

Suy ra AB= 13 cm.

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất của hình thoi.

Lời giải chi tiết :

Vì hình thoi ABCD có chu vi bằng 16 cm nên cạnh hình thoi có độ dài là 16 : 4 = 4 cm.

Suy ra AD = 4 cm. Xét tam giác AHD vuông tại H có AH = 2cm, AD = 4cm nên

\(AH = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \widehat {ADH} = {30^0}\) (theo tính chất).

Suy ra \(\widehat {DAB} = {180^0} - \widehat {ADC} = {180^0} - {30^0} = {150^0}.\) (Vì ABCD là hình thoi )

Nên hình thoi ABCD có:

\(\widehat A = \widehat C = {150^0};\widehat B = \widehat D = {30^0}\) (Vì hai góc đối bằng nhau).

Phương pháp giải :

Dựa vào đường trung bình của tam giác chứng minh tứ giác KMIN có

MK = KN = NI = IM suy ra tứ giác KMIN là hình thoi.

Lời giải chi tiết :

Xét các tam giác BCD, CAB, ADC, DBA ta có:

\(MK = \frac{1}{2}CD;IM = \frac{1}{2}AB;NI = \frac{1}{2}CD;KN = \frac{1}{2}AB\)

Mà AB = CD (giả thiết) .

Suy ra MK = KN = NI = IM.

Tứ giác KMIN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất của hình thoi

Lời giải chi tiết :

Định lí:

+ Hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường chéo của hình thoi.

+ Có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

Mở rộng:

+ Trong hình chữ nhật, các trung điểm của các cạnh hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

+ Trong hình thoi, các trung điểm của bốn cạnh hình thoi là các hình chữ nhật.

→ Đáp án D sai.

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính diện tích của hình thoi: \({S_{hthoi}}\) bằng \(\frac{1}{2}\) tích hai đường chéo của hình thoi.

Lời giải chi tiết :

Diện tích của hình thoi là:

\(\left( {8.10} \right):2 = 40c{m^2}\)

Phương pháp giải :

Từ công thức tính diện tích của hình thoi suy ra công thức tính độ dài một đường chéo khi biết độ dài một đường chéo.

Lời giải chi tiết :

Độ dài đường chéo còn lại là:

\(\frac{5}{3}.2:\frac{{25}}{2} = \frac{4}{{15}}(dm)\)

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của hình thoi và định lí Pytago trong tam giác vuông để tìm độ dài một cạnh của hình thoi.

Lời giải chi tiết :

Do ABCD là hình thoi nên: \(AO = OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{{2}}.16 = 8cm\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABO ta có:

\(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36 = 100 \Rightarrow AB = 10cm\)

Vì ABCD là hình thoi nên AB = CD = 10cm

Phương pháp giải :

Chứng minh tứ giác \(AMBM'\) là hình bình hành có \(M{M'} \bot AB\)nên \(AMBM'\) là hình thoi

Lời giải chi tiết :

Vì \({M'}\)đối xứng M qua D nên \(DM = D{M'}\)(1)

Ta có: MD // AC

Mặt khác \(\Delta ABC\) vuông ở A nên \(AB \bot AC\).(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(DM \bot AB \Rightarrow M{M'} \bot AB.\)

Vì D là trung điểm của AB (gt) và D là trung điểm của M\({M'}\) nên tứ giác \(AMB{M'}\) là hình bình hành. Mặt khác \(M{M'} \bot AB\) nên \(AMB{M'}\) là hình thoi. (Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.)

Phương pháp giải :

Chứng minh tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau nên ABCD là hình thoi.

Lời giải chi tiết :

Do MNPQ là hình thang cân nên MP = NQ. (hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau). (1)

Xét các tam giác MNQ ; PQN, MNP, QMP ta có:

\(AD = \frac{1}{2}QN\); \(BC = \frac{1}{2}QN,AB = \frac{1}{2}MP,DC = \frac{1}{2}MP\)

Suy ra AB = BC = CD = DA.

Do đó ABCD là hình thoi. (Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.)

Phương pháp giải :

Tính góc A, góc C của hình thoi và sử dụng AC là tia phân giác của \(\widehat {DCB}\)

Lời giải chi tiết :

Vì hình thoi ABCD có chu vi bằng 24cm nên cạnh hình thoi có độ dài là 24 : 4 = 6cm.

Suy ra AD = 6cm. Xét tam giác AHD vuông tại H có.

\(AH = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \widehat {ADH} = {30^0}\) ( theo tính chất).

Suy ra \(\widehat {DAB} = {180^0} - \widehat {ADC} = {180^0} - {30^0} = {150^0}\).(Vì ABCD là hình thoi )

Nên hình thoi ABCD có:

\(\widehat A = \widehat C = {150^o}\); \(\widehat B = \widehat D = {30^o}\) (Vì hai góc đối bằng nhau).

Lại có tia CA là tia phân giác \(\widehat {DCB}\) (tính chất hình thoi).

Nên \(\widehat {DCA} = \frac{1}{2}\widehat {DCB} = \frac{1}{2}{.150^0} = {75^0}\)

Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của hình thoi để tính các góc.

Lời giải chi tiết :

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến cạnh CD. Từ giả thiết ta có: \(AH \bot CD\), CH = HD suy ra AH là đường trung trực của đoạn CD nên AC = AD (1)

Do ABCD là hình thoi nên AD = CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = CD = AC nên \(\Delta ACD\)là tam giác đều, do đó\(\widehat D = {60^0}\).

Vì AB // CD nên \(\widehat {DAB} + \widehat D = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)

\( \Rightarrow \widehat {DAB} = {180^0} - \widehat D = {180^0} - {60^0} = {120^0}\).

Áp dụng tính chất về góc vào hình thoi ABCD ta được: \(\widehat B = \widehat D = {60^0},\widehat A = \widehat C = {120^0}\)

Lời giải chi tiết :

Theo tính chất hình bình hành ta có: I là trung điểm của AC và BD.

Suy ra:

\(\begin{array}{l}AI = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.6 = 3cm\\DI = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = \frac{1}{2}.8 = 4cm\end{array}\)

Xét tam giác AID có: \(A{I^2} + I{{\rm{D}}^2} = A{{\rm{D}}^2}\left( {{3^2} + {4^2} = {5^2}} \right)\)

Suy ra: tam giác AID là tam giác vuông: AI ⊥ DI hay AC ⊥ BD

Hình bình hành ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau nên là hình thoi.

Suy ra: AB = BC = CD = DA = 5cm

Hai đường chéo của hình thoi cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Phương pháp giải :

Áp dụng các dấu hiệu của hình thoi

Lời giải chi tiết :

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì \(AC \bot BD\) (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được:

\(AB = AD;\widehat B = \widehat D;BE = DF\)

Từ đó suy ra \(\Delta ABE = \Delta ADF\)(c-g-c).

Suy ra \(\widehat {A{}_1} = \widehat {{A_4}}\)( hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của \(\widehat {BAD} \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat {{A_3}}\)(1)

Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.

Suy ra HO = OG (2)

Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi.

Phương pháp giải :

Chứng minh EPFQ là hình thoi từ đó suy ra số đo \(\widehat {ACD}\)

Lời giải chi tiết :

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD và AD //CB, AD = BC

Xét tứ giác EDFB có ED // FB, \(ED = FB\left( { = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC} \right)\).

Nên EDFB là hình bình hành.

Suy ra: BE = DF, BE // DF.

Xét \(\Delta ABD\)có P là giao điểm hai đường trung tuyến BE, AO nên P là trọng tâm

\(\Delta ABD \Rightarrow EP = \frac{1}{3}BE\).

Xét \(\Delta CBD\)có Q là giao điểm hai đường trung tuyến DF, CO nên Q là trọng tâm

\(\Delta CBD \Rightarrow QF = \frac{1}{3}DF\).

Mà BE = DF (cmt) \( \Rightarrow \)EP = QF.

Xét tứ giác EPFQ có \( \Rightarrow \)EP = QF, EP // QF \( \Rightarrow \)EPFQ là hình bình hành.

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì \({\rm{EF}} \bot PQ\).

Mà EF // CD (do hình bình hành ABCD có AB //CD, E là trung điểm AD, F là trung điểm BC ).

Nên \(CD \bot PQ\) hay \(CD \bot AC \Rightarrow \widehat {ACD} = {90^0}\).