Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 7 — Không quảng cáo

a) Đồ thị hàm số đã cho có một 1 cực trị

b) Hàm số đã cho đồng biến trên R

c) Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)

d) Đồ thị hàm số f(x) là $y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1$

a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0

b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

c) Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng  và

d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4)

a) $\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0$

b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  =  - \frac{{{a^2}}}{2}$

c) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}$

d) $AB \bot CD$

a) $\left| {2\overrightarrow a } \right| = 14$

b) $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {74}$

c) $3\overrightarrow a  - 2\overrightarrow c  = ( - 2;11; - 3)$

d) $\overrightarrow x  =  - 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c$

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2) và (0;1); nghịch biến trên khoảng (-2;0) và (1;+∞).

${x_0}$ là điểm cực trị của hàm số $f(x)$ nếu $f'({x_0}) = 0$ và $f'({x_0})$ đổi dấu qua ${x_0}$.

$f'(x) = x{(x + 1)^2}{(x - 2)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x =  - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.$.

$f'(x)$ đổi dấu qua $x = 0$, $x = 2$.

Vậy số điểm cực trị của hàm số là 2.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Dựa vào đồ thị ta thấy:

$\mathop {\max }\limits_{[ - 2;2]} f(x) = f(2) = 0$, $\mathop {\min }\limits_{[ - 2;2]} f(x) = f( - 1) = f(2) =  - 2$. Vậy M + m = 0 + (-2) = -2.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) =  + \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = 1$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  - 1$ nên y = 1, y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị có 3 tiệm cận.

Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được $y = ax + b + \frac{M}{{cx + d}}$(a≠0) với M là hằng số.

Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.

Kết luận đường thẳng y = ax +b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: $y = y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 2}} = x + 5 + \frac{{10}}{{x - 2}} = f(x)$.

Từ đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f(x) - \left( {x + 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{10}}{{x - 2}} = 0$.

Vậy đường thẳng $y = x + 5$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Tìm điểm thuộc đồ thị có hoành độ tại y’’=0.

$y' = 3{x^2} - 3$, $y'' = 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Thay x = 0 vào hàm số, được y = 1.

Dựa vào lý thuyết vecto cùng phương, vecto đồng phẳng.

Câu D sai. Ví dụ phản chứng: 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng quy tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Dựa vào đồ thị ta thấy $f'(x) > 0,\forall x > 2$ nên y = f(x) đồng biến trên $(2; + \infty )$ .

Dựa vào sự biến thiên và cực trị của hàm số để xét dấu.

Dựa vào đồ thị ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty$ nên a > 0. Loại D.

Đồ thị đi qua điểm (0;d) nên d > 0 (vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương).

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm ${x_1},{x_2}$. Dựa vào hình vẽ ta thấy ${x_1} < 0,x{}_2 > 0$ và ${x_1} + {x_2} > 0$.

Mặt khác, $y' = 3a{x^2} + 2bx + c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}} > 0 \Rightarrow b < 0}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} < 0 \Rightarrow c < 0}\end{array}} \right.$

Dựa vào sự biến thiên, tiệm cận và các điểm hàm số đi qua để lập hệ phương trình tìm hệ số.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang y = -2. Loại A và D.

Xét hàm số $y = \frac{{ - 2x - 4}}{{x + 1}}$ có $y' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0$. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó.

Xét hàm số $y = \frac{{ - 2x + 3}}{{x + 1}}$ có $y' = \frac{{ - 5}}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0$. Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

Mà theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến. Ta chọn hàm số $y = \frac{{ - 2x + 3}}{{x + 1}}$.

Tính góc thông qua tích vô hướng của 2 vecto.

Ta có: $AC = a\sqrt 2  \Rightarrow A{C^2} = 2{a^2} = {a^2} + {a^2} = S{A^2} + S{C^2}$. Suy ra $\Delta SAC$ vuông tại S.

Khi đó: $\overrightarrow {NM} .\overrightarrow {SC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  = 0$. Suy ra $\left( {\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {SC} } \right) = {90^o}$, tức $\left( {MN,SC} \right) = {90^o}$.

Sử dụng công thức tính tích góc giữa hai vecto.

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \Rightarrow \cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} =  - 1 \Rightarrow (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {180^o}$.

a) Đồ thị hàm số đã cho có một 1 cực trị

b) Hàm số đã cho đồng biến trên R

c) Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)

d) Đồ thị hàm số f(x) là $y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1$

Quan sát đồ thị và nhận xét.

a) Sai . Hàm số f(x) không có cực trị.

b) Đúng . Hàm số đã cho đồng biến trên R.

c) Đúng. Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x) vì nó là điểm uốn của đồ thị.

d) Sai. Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1$ cắt trục tung tại điểm (0;-1), còn đồ thị trên hình vẽ cắt trục tung tại điểm (0;1).

a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0

b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

c) Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng  và

d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4)

Quan sát đồ thị và nhận xét.

a) Sai. Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = -1.

b) Sai. Tâm đối xứng của đồ thị là điểm (-1;0).

c) Sai. Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng $( - \infty ; - 3)$ và $(1; + \infty )$

d) Đúng. Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4) .

a) $\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0$

b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  =  - \frac{{{a^2}}}{2}$

c) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}$

d) $AB \bot CD$

Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, công thức tính góc giữa hai vecto.

a) Đúng . $\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0$ .

b) Đúng. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  =  - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  =  - a.a.\cos {60^o} =  - \frac{{{a^2}}}{2}$ .

c) Sai . $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = a.a.\cos {60^o} = \frac{{{a^2}}}{2}$ , $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  =  - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD}  =  - a.a.\cos {60^o} =  - \frac{{{a^2}}}{2}$ .

d) Đúng. Giả sử I là trung điểm của CD thì $CD \bot (ABI)$, suy ra $CD \bot AB$.

a) $\left| {2\overrightarrow a } \right| = 14$

b) $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {74}$

c) $3\overrightarrow a  - 2\overrightarrow c  = ( - 2;11; - 3)$

d) $\overrightarrow x  =  - 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c$

Sử dụng các quy tắc cộng vecto, công thức tính tích vô hướng của hai vecto, độ dài vecto.

a) Sai . Vì $\left| {2\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{4^2} + {6^2} + {2^2}}  = 2\sqrt {14}$.

b) Đúng. Vì $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {8^2} + {3^2}}  = \sqrt {74}$.

c) Đúng . Vì $3\overrightarrow a  - 2\overrightarrow c  = (6;9;3) - (8; - 2;6) = ( - 2;11; - 3)$

d) Sai. Đặt $\overrightarrow x  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c$ với $m,n,p \in R$.

Suy ra $( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n( - 1;5;2) + p(;4; - 1;3) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - n + 4p =  - 3}\\{3m + 5n - p = 22}\\{m + 2n + 3p = 5}\end{array}} \right.$

Giải hệ trên ta được m = 2, n = 3, p = -1. Vậy $\overrightarrow x  = 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  - \overrightarrow c$.

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0.

- Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn.

Tập xác định: D = [-1;1].

Ta có: $f'(x) =  - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} =  - \frac{{\sqrt {1 + x} }}{{2\sqrt {1 - x} }} + \frac{{\sqrt {1 - x} }}{{2\sqrt {1 + x} }} = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt {1 - x}  = \sqrt {1 + x}  \Leftrightarrow x = 0$.

$f( - 1) = f(1) = \sqrt 2$; f(0) = 2.

Vậy $M + 2{m^2} = 2 + 2.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 6$.

Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = \frac{1}{m}$.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;4) nên $\frac{1}{m} = 1 \Leftrightarrow m = 1$.

Thử lại thấy thỏa mãn.

Sử dụng quy tắc hình hộp.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC'}$, suy ra $\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}$.

Lại có: $\overrightarrow {AC'}  = (3;5; - 6)$, $\overrightarrow {AB}  = (1;1;1)$, $\overrightarrow {AD}  = (0; - 1;0)$.

Do đó:

$\overrightarrow {AA'}  = (2;5; - 7)$, suy ra $A'(3;5; - 6)$. Tổng cần tìm là 3 + 5 + (-6) = 2.

Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Theo giả thiết: $s(t) = 6{t^2} - {t^3}$, $t \in (0; + \infty )$.

Vận tốc của chuyển động là $v(t) = s'(t) = 12t - 3{t^2}$.

Ta có: $v'(t) = 12 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 2$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2.

Lập hàm số tính doanh thu một ngày của khách sạn và tìm giá trị lớn nhất.

Gọi giá tiền chủ khách sạn cho thuê một phòng là x ($x \ge 500$).

Vì cứ tăng giá thêm 50 000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống nên số phòng được thuê là:

$60 - \frac{{x - 500}}{{50}}.2 = 80 - \frac{x}{{25}}$.

Khi đó, tổng doanh thu 1 ngày là $x\left( {80 - \frac{x}{{25}}} \right) = 80x - \frac{{{x^2}}}{{25}} = f(x)$.

Ta có $f'(x) = 80 - \frac{{2x}}{{25}} = 0 \Leftrightarrow x = 1000$.

Vì $f(x)$ là tam thức bậc hai có hệ số cao nhất âm nên f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 1000.

Vậy để tổng doanh thu lớn nhất thì thì chủ khách sạn nên cho thuê phòng với giá 1000 nghìn đồng/ngày (tức 1 triệu đồng).

Quan sát đồ thị.

Đường tiệm cận ngang của đồ thị là $y = \frac{a}{c}$ cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên a.c > 0. Vì a > 0 nên c > 0.

Đường tiệm cận đứng của đồ thị là $x = \frac{{ - d}}{c}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm nên -d.c < 0 hay c.d > 0. Vì c > 0 nên d > 0.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $\frac{b}{d} < 0$. Mà d > 0 nên b < 0.

Vậy ta có a, c, d là các số dương.