Giải Toán 11 chương 3 Giới hạn. Hàm số liên tục — Không quảng cáo

I. Khái niệm

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1, Giới hạn hữu hạn của dãy số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và ${x_0} \in (a;b)$. Điều kiện cần và đủ để hàm số $y = f(x)$ liên tục tại ${x_0}$ là:

Quan sát đồ thị hàm số (fleft( x right) = x) ở Hình 11. a) Tính (mathop {lim }limits_{x to 1} fleft( x right).) b) So sánh (mathop {lim }limits_{x to 1} fleft( x right)) với (fleft( 1 right).)

Xét hàm số (fleft( x right) = 2x.) a) Xét dãy số (left( {{x_n}} right),) với ({x_n} = 1 + frac{1}{n}.) Hoàn thành bảng giá trị (fleft( {{x_n}} right)) tương ứng.

Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số (left( {{u_n}} right),) với ({u_n} = frac{1}{n}) trên hệ trục tọa độ.

Tính các giới hạn sau: a) (lim frac{{2{n^2} + 6n + 1}}{{8{n^2} + 5}}) b) (lim frac{{4{n^2} - 3n + 1}}{{ - 3{n^3} + 5{n^2} - 2}}); c) (lim frac{{sqrt {4{n^2} - n + 3} }}{{8n - 5}}); d) (lim left( {4 - frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}} right)) e) (lim frac{{{{4.5}^n} + {2^{n + 2}}}}{{{{6.5}^n}}}) g) (lim frac{{2 + frac{4}{{{n^3}}}}}{{{6^n}}}).

Quan sát đồ thị các hàm số: $y = {x^2} - 4x + 3$ (Hình 14a); $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\,\,\left( {x \ne 1} \right)$ (Hình 14b); $y = \tan x$ (Hình 14c) và nêu nhận xét về tính liên tục của mỗi hàm số đó trên từng khoảng của tập xác định.

Cho hai hàm số (fleft( x right) = {x^2} - 1,gleft( x right) = x + 1.) a) Tính (mathop {lim }limits_{x to 1} fleft( x right)) và (mathop {lim }limits_{x to 1} gleft( x right).) b) Tính (mathop {lim }limits_{x to 1} left[ {fleft( x right) + gleft( x right)} right])và so sánh (mathop {lim }limits_{x to 1} fleft( x right) + mathop {lim }limits_{x to 1} gleft( x right).) c) Tính (mathop {lim }limits_{x to 1} left[ {fleft( x right) - gleft( x

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)$ với ${u_n} = 8 + \frac{1}{n};{v_n} = 4 - \frac{2}{n}.$ a) Tính $\lim {u_n},\lim {v_n}.$ b) Tính $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)$ và so sánh giá trị đó với tổng $\lim {u_n} + \lim {v_n}.$ c) Tính $\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)$ và so sánh giá trị đó với tổng $\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right).$

Tính các giới hạn sau: a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left( {4{x^2} - 5x + 6} \right)$; b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}}$; c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{{x^2} - 16}}$.

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số (fleft( x right) = 2{x^3} + x + 1) tại điểm (x = 2.)

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\,\,\left( {x \ne 1} \right)$ có đồ thị như ở Hình 8. Quan sát đồ thị đó và cho biết: a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì $f\left( x \right)$ dần tới đâu. b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì $f\left( x \right)$ dần tới đâu

Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right),) với ({u_1} = 1) và công bội (q = frac{1}{2}.) a) So sánh (left| q right|) với 1. b) Tính ({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}.) Từ đó, hãy tính (lim {S_n}.)

Tính các giới hạn sau: a) (mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}); b) (mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{6x + 8}}{{5x - 2}});

Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a, 15b, 15c, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.

Cho hàm số $f\left( x \right) = x$ có đồ thị như ở Hình 9. Quan sát đồ thị đó và cho biết: a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì $f\left( x \right)$ dần tới đâu. b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì $f\left( x \right)$ dần đâu.

Tính (lim left( { - {n^3}} right).)

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + a}&{{\rm{ }}x < 2}\\4&{{\rm{ }}x = 2}\\{ - 3x + b}&{{\rm{ }}\,x > 2}\end{array}} \right.$