Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 2 — Không quảng cáo

Qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước cho trước.

Qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước cho trước nên đáp án B sai.

Hình minh họa:

Các đáp án còn lại đều đúng.

Đáp án B.

Với a, b là số thực dương và \(a \ne 1\) thì \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b,\log {\,_a}a = 1\), \({\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\)

Với a là số thực dương, \(a \ne 1\), \(M > 0,N > 0\) thì \({\log _a}MN = {\log _a}M + {\log _a}N\).

\({\log _8}1250 = {\log _{{2^3}}}\left( {{5^4}.2} \right) = \frac{1}{3}\left( {{{\log }_2}{5^4} + {{\log }_2}2} \right) = \frac{4}{3}{\log _2}5 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}a + \frac{1}{3}\)

Đáp án B.

Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \(M\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(f'\left( {{x_0}} \right)\).

Đáp án A.

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).

Tam giác ABC vuông tại B nên \(AB \bot BC\)

Ta có: \(SA \bot BC\), \(AB \bot BC\), SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Mà \(AH \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)

Ta có: \(BC \bot AH,AH \bot SB\), SB và BC cắt nhau tại B và nằm trong mặt phẳng (SBC). Do đó, \(AH \bot \left( {SBC} \right)\), mà \(SC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow SC \bot AH\)

Nếu \(AH \bot AC\), mà \(SA \bot AC \Rightarrow AC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow AB \bot AC\) (vô lí)

Đáp án C.

Với a, b là số thực dương và \(a \ne 1\) thì \(\log {\,_a}a = 1;{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b,{\log _a}{a^\alpha } = \alpha \).

\({\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{{a\sqrt a }}} \right) = {\log _a}\left( {{a^2}{{\left( {a.{a^{\frac{1}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}} \right) = {\log _a}\left( {{a^2}.{a^{\frac{1}{2}}}} \right) = {\log _a}{a^{\frac{5}{2}}} = \frac{5}{2}\)

Đáp án A.

Với \(a > 1\) thì \({a^{u\left( x \right)}} \ge {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) \ge v\left( x \right)\).

\({\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{2x - 4}} \ge \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{\frac{{2x - 4}}{{ - 2}}}} \ge {2^{ - 2}} \Leftrightarrow  - x + 2 \ge  - 2 \Leftrightarrow x \le 4\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = \left( { - \infty ;4} \right]\).

Đáp án C.

Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu ln b.

Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là \(\ln a\).

Đáp án D.

Với \(0 < a \ne 1,b,c > 0\) thì \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).

Với \(0 < a \ne 1,b,c > 0\) thì \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).

Đáp án A.

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Hàm số \(y = {\log _2}x\) có cơ số là 2.

Đáp án C.

\(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\left( {x > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\)

\(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\left( {x > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\)

Đáp án D.

Hàm số \(y = \sqrt {u\left( x \right)} \) xác định khi \(u\left( x \right) \ge 0\).

Hàm số \(y = {8^{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) xác định khi \({x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - 2\end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số \(y = {8^{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) là: \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

Đáp án B.

Cho phương trình \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\): Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Phương trình \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) vô nghiệm khi \(b \le 0\).

Do đó, \(b = 0\) thì phương trình \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) vô nghiệm.

Đáp án C.

Trong không gian, cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Trong không gian, cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Đáp án A.

Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

Đáp án C.

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}},{a^m}.{b^m} = {\left( {a.b} \right)^m},{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)  (a khác 0).

\({\left( {\sqrt 5  - 2} \right)^{2024}}.{\left( {\sqrt 5  + 2} \right)^{2025}} = {\left( {\sqrt 5  - 2} \right)^{2024}}.{\left( {\sqrt 5  + 2} \right)^{2024}}.\left( {\sqrt 5  + 2} \right)\)

\( = {\left[ {\left( {\sqrt 5  - 2} \right)\left( {\sqrt 5  + 2} \right)} \right]^{2024}}.\left( {\sqrt 5  + 2} \right) = {\left( {5 - 4} \right)^{2024}}\left( {\sqrt 5  + 2} \right) = \sqrt 5  + 2\)

Đáp án A.

Phương trình \({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) luôn có nghiệm duy nhất \(x = {a^b}\).

Điều kiện: \(x > 0\)

\({\log _2}x =  - 2 \Leftrightarrow x = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{4}\).

Đáp án D.

\({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\) (với các biểu thức đều có nghĩa).

Ta có: \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^2} = \sqrt[3]{{{5^2}}}\).

Đáp án D.

Với \(a > 0,a \ne 1\) ta có: \({\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}\).

Điều kiện: \(x > 0\)

\({\log _2}\left( {{{\log }_{16}}x} \right) =  - 2 \Leftrightarrow {\log _{16}}x = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = {16^{\frac{1}{4}}} = 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = \left\{ 2 \right\}\).

Đáp án B.

Nếu \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) > {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) < v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\)).

Điều kiện: \(x >  - 1\)

\(2{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) > {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {3x + 7} \right) \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}{\left( {x + 1} \right)^2} > {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {3x + 7} \right) \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} < 3x + 7 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 < 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 3\)

Kết hợp với điều kiện ta có: \( - 1 < x < 3\).

Đáp án D.

Cho a, b là những số thực dương, \(\alpha \) là số thực bất kì. Khi đó, \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\).

Cho a, b là những số thực dương, \(\alpha \) là số thực bất kì. Khi đó, \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\).

Đáp án A.

Nếu hàm số \(T = f\left( t \right)\) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì \(f'\left( {{t_0}} \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \({t_0}\).

Nếu hàm số \(T = f\left( t \right)\) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì \(f'\left( {{t_0}} \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \({t_0}\).

Đáp án C.

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Vì I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SC nên IJ là đường trung bình của tam giác SAC, do đó, IJ//AC.

Vì ABCD là hình thoi nên \(AC \bot BD\)

Vì \(AC \bot BD\), IJ//AC nên \(BD \bot IJ \Rightarrow \left( {BD,IJ} \right) = {90^0}\).

Đáp án B.

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 ⁰ .

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 ⁰ .

Đáp án C.

Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Vì \(0 < \frac{1}{2} < 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án B.

Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),AD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AD\)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD\).

Mà SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, \(AD \bot \left( {SAB} \right)\).

Do đó, A là hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB).

Đáp án B.

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(\left( {1;0} \right)\) và điểm \(\left( {a;1} \right)\).

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(\left( {1;0} \right)\).

Đáp án A.

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Vì ABCD là hình thoi nên BC//AD. Do đó, \(\left( {SD,BC} \right) = \left( {SD,AD} \right) = \widehat {SDA}\)

Vì BC//AD, \(SA \bot BC\) nên \(SA \bot AD\). Do đó, tam giác SAD vuông tại A, suy ra:

\(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SDA} = {60^0}\)

Đáp án B.

\({a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)\)

\(0,{2^{x - 1}} = \frac{1}{{\sqrt {125} }} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{2\left( {x - 1} \right)}} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^3} \Leftrightarrow 2x - 2 = 3 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)

Đáp án A.

Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).

Tiếp tuyến \({M_o}T\) có phương trình là: \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3\) nên \(f'\left( { - 1} \right) = 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 3 = 6\)

Do đó, tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left( { - 1; - 4} \right)\) có phương trình là: \(y + 4 = 6\left( {x + 1} \right) \Rightarrow y = 6x + 2\)

Đáp án C.

Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) là \(T = \left( {0; + \infty } \right)\).

Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) là \(T = \left( {0; + \infty } \right)\).

Đáp án C.

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mặt phẳng (P).

Câu sai vì d phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

Các đáp án còn lại đều đúng.

Đáp án B.

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

Vì \(SA = SC\) nên tam giác SAC cân tại S, mà SO là đường trung tuyến nên SO là đường cao của tam giác SAC. Do đó, \(SO \bot AC\) (1)

Vì \(SB = SD\) nên tam giác SBD cân tại S, mà SO là đường trung tuyến nên SO là đường cao của tam giác SBD. Do đó, \(SO \bot BD\) (2)

Lại có: BD và AC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (ABCD) (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Đáp án D.

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}},{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\) (a khác 0).

\({\left( {{a^{\sqrt 3 }}.{b^{\frac{{ - 6}}{{\sqrt 3 }}}}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = {\left( {{a^{\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}.{\left( {{b^{\frac{{ - 6}}{{\sqrt 3 }}}}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = a.{b^{\frac{{ - 6}}{3}}} = \frac{a}{{{b^2}}}\)

Đáp án B.

\({a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)\)

\({\left( {\sqrt 3 } \right)^x} = 3 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 } \right)^x} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \Leftrightarrow x = 2\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 2\)

Đáp án B.

Cho hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\):

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\) có \(0 < \frac{1}{{\sqrt 3 }} < 1\) nên nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\frac{1}{3} = 2,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = f\left( 3 \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}3 =  - 2\)

Do đó, \(M.m =  - 1\)

Đáp án B.

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với \(b'\).

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với \(b'\).

Đáp án A.

Trong không gian, cho đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).

Trong không gian, cho đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).

Đáp án C.

Với a, b, c là các số dương và \(a \ne 1,b \ne 1\) thì \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}\).

Với a, b, c là các số dương và \(a \ne 1,b \ne 1\) thì \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}\).

Đáp án B.

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Vì H là trung điểm của AB, mà tam giác ABC cân tại C nên \(CH \bot AB\).

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right),CH \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH\)

Ta có: \(CH \bot AB\), \(SA \bot CH\), SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên \(CH \bot \left( {SAB} \right)\). Mà \(AK,SB \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow AK \bot CH,SB \bot CH\)

Do đó, đáp án sai là D.

Đáp án D.

\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Đáp án B.