Trắc nghiệm toán 8 bài 7 chương 8 cánh diều có đáp án — Không quảng cáo

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC và tam giác MNP có: \(\widehat {BAC} = \widehat {NMP} = {90^0},\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}}\left( {\frac{3}{{12}} = \frac{5}{{20}}} \right)\)

Do đó, \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác MNP và tam giác DFE có: \(\widehat M = \widehat D = {90^0},\frac{{MN}}{{DF}} = \frac{{MP}}{{DE}}\left( { = \frac{1}{2}} \right)\) nên \(\Delta MNP \backsim \Delta DFE\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Hai cạnh góc vuông của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì khi đó tỉ lệ của hai cạnh tam giác vuông bằng 1. Do đó, hai tam giác cũng đồng dạng với nhau.

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC và tam giác DEF có: \(\widehat {BAC} = \widehat {EDF} = {90^0},\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}}\) nên \(\Delta ABC \backsim \Delta DEF\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác ABC và tam giác ADE có: \(\widehat {BAC} = \widehat {DAE} = {90^0}\), \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\left( { = \frac{1}{2}} \right)\)

Do đó, \(\Delta ABC \backsim \Delta ADE\)

Do đó, \(\widehat B = \widehat D\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) nên \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{BD}}\)

Tam giác ABC và tam giác DEB có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BDE} = {90^0},\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{BD}}\) nên

Do đó, \(\widehat {CBA} = \widehat {BED}\)

Mà \(\widehat {BED} + \widehat {EBD} = {90^0}\) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {EBD} = {90^0}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác AHB và tam giác CAH có:\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0},\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{HC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\)

Do đó, \(\Delta AHB \backsim \Delta CAH\)

Suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat C\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC và tam giác A’B’C có: \(\widehat {BAC} = \widehat {B'A'C'} = {90^0},\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\)

Do đó, \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\)

Suy ra: \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{2}\)

Mà M là trung điểm của BC nên \(BC = 2AM\), M’ là trung điểm của B’C’ nên \(B'C' = 2A'M'\)

Do đó, \(\frac{{AM}}{{A'M'}} = \frac{1}{2}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(HC = BC - BH = 9\left( {cm} \right)\)

Tam giác AHB và tam giác CAH có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0},\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{HC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\)

Do đó, \(\Delta AHB \backsim \Delta CAH\)

Suy ra: \(\widehat B = \widehat {CAH}\) (khẳng định (3) sai)

Mà \(\widehat B + \widehat {BAH} = {90^0}\) nên \(\widehat {BAH} + \widehat {CAH} = {90^0}\) hay \(\widehat {BAC} = {90^0}\) (khẳng định (1) sai)

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

Diện tích tam giác ABC là: \(\frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC \Rightarrow AB.AC = AH.BC\) (khẳng định (2) đúng)

Vậy có 1 khẳng định đúng

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ADB vuông tại A có: \(B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow BD = a\sqrt 2 \)

Tam giác ABD vuông cân tại A nên \(\widehat {ADB} = {45^0}\)

Ta có: \(B{D^2} + B{C^2} = 2{a^2} + 2{a^2} = 4{a^2} = C{D^2}\) nên tam giác BDC vuông tại B, do đó, \(\widehat {DBC} = {90^0}\)

Xét tam giác ADC và tam giác IBD có:

\(\widehat {ADC} = \widehat {IBD} = {90^0},\frac{{AD}}{{IB}} = \frac{{DC}}{{BD}}\)

Do đó, \(\Delta ADC \backsim \Delta IBD\)

Suy ra, \(\widehat {ACD} = \widehat {BDI}\)

Mà \(\widehat {ADH} = \widehat {ACD}\) (cùng phụ với góc HDC)

Do đó, \(\widehat {ADH} = \widehat {BDI}\)

Mà \(\widehat {ADH} + \widehat {BDH} = {45^0} \Rightarrow \widehat {BDI} + \widehat {BDH} = {45^0}\) hay \(\widehat {HDI} = {45^0}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác OAC và tam giác DBO có: \(\widehat {OAC} = \widehat {DBO} = {90^0},\widehat {COA} = \widehat {BDO}\) (cùng phụ với góc DOB)

Do đó, \(\Delta OAC \backsim \Delta DBO \Rightarrow \frac{{OC}}{{OD}} = \frac{{AC}}{{OB}}\)

Mà \(OA = OB \Rightarrow \frac{{OC}}{{OD}} = \frac{{AC}}{{OA}} \Rightarrow \frac{{OC}}{{AC}} = \frac{{OD}}{{OA}}\)

Tam giác OCD và tam giác ACO có: \(\widehat {CAO} = \widehat {COD} = {90^0},\frac{{OC}}{{AC}} = \frac{{OD}}{{OA}}\)

Do đó, \(\Delta OCD \backsim \Delta ACO \Rightarrow \widehat {OCD} = \widehat {ACO}\)

Chứng minh được \(\Delta OAC = \Delta OMC\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow AC = MC\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến nên \(AM = MB = \frac{1}{2}BC\)

Do đó, tam giác AMB cân tại M. Do đó, MI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \(AI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow \frac{{AI}}{{AB}} = \frac{1}{2}\)

Tam giác ABC có: M là trung điểm của CB, I là trung điểm của AB nên MI là đường trung bình của tam giác ABC nên \(\frac{{MI}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

Tam giác ABC và tam giác AIM có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {MIA} = {90^0},\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{MI}}{{AC}}\left( { = \frac{1}{2}} \right)\) nên \(\Delta IAM \backsim \Delta ABC\)

Do đó, \(\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AMI}}}} = {\left( {\frac{{MI}}{{AC}}} \right)^2} = \frac{1}{4}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) nên \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{BD}}\)

Tam giác ABC và tam giác DEB có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BDE} = {90^0},\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{BD}}\) nên \(\Delta ABC \backsim \Delta DEB\)

Do đó, \(\widehat {CBA} = \widehat {BED}\)

Mà \(\widehat {BED} + \widehat {EBD} = {90^0}\) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {EBD} = {90^0}\)

Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {EBD} + \widehat {CBE} = {180^0}\) nên \(\widehat {CBE} = {90^0}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 13\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BDE vuông tại D có: \(B{E^2} = D{E^2} + B{D^2} = 52\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BCE vuông tại B có: \(C{E^2} = B{E^2} + B{C^2} = 65\) nên \(CE = \sqrt {65} \)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác BHC và tam giác B’H’C’ có: \(\widehat {BHC} = \widehat {B'H'C'} = {90^0},\frac{{BH}}{{B'H'}} = \frac{{HC}}{{H'C'}} = \frac{3}{2}\)

Do đó, \(\Delta BHC \backsim \Delta B'H'C'\)

Suy ra: + \(\frac{{BH}}{{B'H'}} = \frac{{HC}}{{H'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{3}{2}\)

+ \(\widehat C = \widehat {C'}\), mà tam giác ABC cân tại A, tam giác A’B’C’ cân tại A’ nên \(\widehat B = \widehat {B'} = \widehat C = \widehat {C'}\)

Do đó, \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\) nên \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{3}{2}\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AB + BC + AC}}{{A'B' + B'C' + A'C'}} = \frac{3}{2}\)

Mà chu vi tam giác A’B’C’ bằng 30cm nên chu vi tam giác ABC là: \(30.\frac{3}{2} = 45\left( {cm} \right)\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác BHC và tam giác B’H’C’ có: \(\widehat {BHC} = \widehat {B'H'C'} = {90^0},\frac{{BH}}{{B'H'}} = \frac{{HC}}{{H'C'}}\)

Do đó, \(\Delta BHC \backsim \Delta B'H'C'\)

Suy ra: \(\widehat C = \widehat {C'}\), mà tam giác ABC cân tại A, tam giác A’B’C’ cân tại A’ nên \(\widehat B = \widehat {B'} = \widehat C = \widehat {C'}\)

Do đó, \(\widehat {BAC} = 7\widehat {ACB} = 7\widehat {ABC}\)

Lại có: \(\widehat {BAC} + \widehat {ACB} + \widehat {ABC} = {180^0} \Rightarrow 9\widehat {ACB} = {180^0} \Rightarrow \widehat {ACB} = {20^0} \Rightarrow \widehat {BAC} = {140^0}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Kẻ BK vuông góc với CD tại K.

Tứ giác ABKD có: \(\widehat A = \widehat D = \widehat {BKD} = {90^0}\) nên tứ giác ABKD là hình chữ nhật, do đó, \(KC = DC - DK = 5cm\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BKC vuông tại K ta có:

\(B{C^2} = C{K^2} + K{B^2} \Rightarrow K{B^2} = 144 \Rightarrow KB = 12cm\)

Vì tứ giác ABKD là hình chữ nhật nên \(AD = BK = 12cm\) do đó \(AM = MD = 6cm\)

Xét tam giác ABM và tam giác DMC có:

\(\widehat {BAM} = \widehat {MDC} = {90^0},\frac{{AB}}{{DM}} = \frac{{AM}}{{DC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\)

Do đó, \(\Delta ABM \backsim \Delta DMC\)

Suy ra, \(\widehat {AMB} = \widehat {DCM}\)

Mà \(\widehat {DMC} + \widehat {MCD} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DMC} + \widehat {AMB} = {90^0}\)

Ta có: \(\widehat {DMC} + \widehat {BMC} + \widehat {AMB} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BMC} = {90^0}\)

Do đó, tam giác BMC vuông tại M.

Kẻ MH vuông góc với BC tại H thì MH là khoảng cách từ M đến BC.

Áp dụng định lý Pythagore vào hai tam giác ABM và tam giác DMC ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}B{M^2} = M{A^2} + A{B^2} = {6^2} + {4^2} = 52\\M{C^2} = C{D^2} + D{M^2} = {9^2} + {6^2} = 117\end{array} \right.\)

Do đó, \(BM = 2\sqrt {13} cm,MC = 3\sqrt {13} cm\)

Diện tích tam giác BMC vuông tại M có:

\(\frac{1}{2}BM.MC = \frac{1}{2}MH.BC \Rightarrow 2\sqrt {13} .3\sqrt {13}  = 13.MH \Rightarrow MH = 6cm\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(AD = DE = EC = a\)

Vẽ M đối xứng với B qua D.

Tam giác BAD vuông tại A có \(AB = AD\) nên tam giác ABD vuông cân tại A. Suy ra: \(\widehat {ABD} = \widehat {ADB} = {45^0}\)

Chứng minh được \(\Delta ABD = \Delta EMD\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {EMD} = {45^0},\widehat {MED} = \widehat {BAD} = {90^0}\) và \(BD = DM = \frac{1}{2}BM,\;ME = AB = a\)

Tam giác MEC có ME là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác DME cân tại M. Do đó, ME là đường phân giác. Do đó, \(\widehat {DMC} = 2\widehat {DME} = {90^0}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A có: \(BD = a\sqrt 2  \Rightarrow BM = 2a\sqrt 2 \)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác MEC vuông tại E có: \(MC = a\sqrt 2 \)

Ta có: \(\frac{{AB}}{{MC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{{AE}}{{BM}} = \frac{{2a}}{{2a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \frac{{AB}}{{MC}} = \frac{{AE}}{{BM}}\)

Tam giác EAB và tam giác BMC có:

\(\widehat {BAE} = \widehat {BMC} = {90^0},\)\(\frac{{AB}}{{MC}} = \frac{{AE}}{{BM}}\) nên \(\Delta EAB \backsim \Delta BMC\)

Do đó, \(\widehat {BEA} = \widehat {MBC}\)

Mà \(\widehat {BEA} + \widehat {BCA} = \widehat {MBC} + \widehat {BCA} = \widehat {BDA} = {45^0}\)

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Hai tam giác đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh - góc – cạnh nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau.

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{DE}}{{IL}} = \frac{{EF}}{{LK}}\left( {\frac{{10}}{{20}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}} \right).\)

Để \(\Delta D{\rm{EF}} \backsim \Delta {\rm{ILK(c - g - c)}}\) thì \(\hat E = \hat L\) (hai góc tạo bởi các cặp cạnh)

Phương pháp giải :

Quan sát các hình vẽ và lựa chọn hai tam giác đồng dạng thoe trường hợp thứ hai.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2},\frac{{DE}}{{DF}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2},\frac{{PQ}}{{PR}} = \frac{4}{4} = 1\) ,

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta EDF\) ta có: \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{DF}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{BA}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{DF}}\) và \(\hat B = \hat D = {60^0}(gt)\)

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta EDF(c - g - c)\)

Hình 1 và hình 2 là hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2},\frac{{DE}}{{DF}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{DF}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{BA}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{DF}}\)

Để hai tam giác đã cho đồng dạng thì \(\hat B = \hat D = {60^0}\) .

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\widehat A = \widehat {{A'}}\) và \(\frac{{{A'}{B'}}}{{AB}} = \frac{{{A'}{C'}}}{{AC}}\) thì \(\Delta {A'}{B'}{C'} \backsim \Delta ABC\) (c-g-c)

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác.

Lời giải chi tiết :

\(\Delta MNP \backsim \Delta KIH \Rightarrow \frac{{MN}}{{KI}} = \frac{{MP}}{{KH}} \Leftrightarrow \frac{2}{{KI}} = \frac{8}{4} \Rightarrow KI = 1(cm)\)

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác và định lí Ta let đảo.

Lời giải chi tiết :

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}.\) (gt); \(\hat A\) chung

\( \Rightarrow \Delta ADE \backsim \Delta ABC(c - g - c)\)

\( \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) (cặp góc tương ứng)

\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\)

\( \Rightarrow DE//BC\) (định lý Ta lét đảo)

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta ANM \backsim \Delta ABC(c - g - c)\) từ đó suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ và tính độ dài đoạn MN.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3},\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{6}{{18}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Xét \(\Delta ANM\) và \(\Delta ABC\) có: \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}}(cmt);\hat A\) chung

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ANM \backsim \Delta ABC(c - g - c)\\ \Rightarrow \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{CB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{15}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{{15}}{3} = 5(cm).\end{array}\)

Phương pháp giải :

Chứng minh hai tam giác đồng dạng từ đó suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ và tính độ dài của x.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3},\frac{{AC}}{{CD}} = \frac{9}{{13,5}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{2}{3}\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CAD\) có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{CD}}(cmt),\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\) (so le trong, AB//CD )

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta CAD(c - g - c)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{CA}}{{CD}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow \frac{{10}}{x} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{{10.3}}{2} = 15\end{array}\)

Phương pháp giải :

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có các cạnh tương ứng tỉ lệ và suy ra hệ thức.

Lời giải chi tiết :

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2},\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{HC}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow AB.HC = AH.AC\end{array}\)

Phương pháp giải :

Áp dụng hai tam giác đồng dạng và định lí Pythagore để tính độ dài cạnh BC.

Lời giải chi tiết :

\(\Delta ABD\) và \(\Delta BDC\) có: \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (so le trong, AB//CD)

\(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DC}}\) (Vì \(\frac{{16}}{{20}} = \frac{{20}}{{25}})\)

Do đó \(\Delta ABD \backsim \Delta BDC(c - g - c)\)

Ta có \({\rm{\hat A = 90}}{}^0\) nên \(\widehat {DBC} = {90^0}\) . Theo định lí Pytago, ta có:

\(B{C^2} = C{D^2} - B{D^2} = {25^2} - {20^2} = {15^2}\) .Vậy BC= 15 (cm)

Phương pháp giải :

Tỉ số đồng dạng bằng với tỉ số đường trung tuyến tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Ta có tỉ số đồng dạng bằng với tỉ số đường trung tuyến tương ứng \(\frac{{M{M'}}}{{E{E '}}} = k\)

Tỉ số đồng dạng bằng với tỉ số đường trung tuyến tương ứng.

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta AKH \backsim \Delta BCA(c - g - c) \Rightarrow \widehat {AKH} = \widehat {ACB} = {60^0}\)

Lời giải chi tiết :

Vì \(AD.AH = AB.AK( = {S_{ABCD}})\) nên \(\frac{{AH}}{{AK}} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{BC}}\)

Ta lại có AB//CD (vì ABCD là hình bình hành) mà \(AK \bot DC \Leftrightarrow AK \bot AB \Rightarrow \widehat {BAK} = {90^0}\)

Từ đó \(\widehat {HAK} = \widehat {ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat {BAH}\) )

Nên \(\Delta AKH \backsim \Delta BCA(c - g - c) \Rightarrow \widehat {AKH} = \widehat {ACB} = {60^0}\)

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta ACB \backsim \Delta ECA\) (c-g-c) suy ra \(\hat B = \widehat {CAE}\) tức là \(\hat B = \frac{{\hat A}}{2}\)

Lời giải chi tiết :

Kẻ đường phân giác AE của \(\Delta ABC\) . Theo tính chất đường phân giác, ta có:

\(\frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{9}{{16}}\) hay \(\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}}\)

Nên \(\frac{{BE + EC}}{{AB+AC}} = \frac{{20}}{{9+16}}=\frac{4}{5}\)

Hay \(\frac{{CE}}{{AC}} = \frac{{CE}}{{16}} =\frac{4}{5} \Rightarrow EC = 12,8(cm)\)

Xét \(\Delta ACB\) và \(\Delta ECA\) có: \(\hat C\) là góc chung

\(\frac{{AC}}{{EC}} = \frac{{CB}}{{CA}}\) (vì \(\frac{{16}}{{12,8}} = \frac{{20}}{{16}})\)

Do đó \(\Delta ACB \backsim \Delta ECA\) (c-g-c) suy ra \(\hat B = \widehat {CAE}\) tức là \(\hat B = \frac{{\hat A}}{2}\)

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Do BC//AN (Vì \(N \in AD\) ) nên ta có: \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{NC}}\)  (1)

Do CD//AM (Vì \(M \in AB\) ) nên ta có: \(\frac{{MC}}{{NC}} = \frac{{AD}}{{DN}}\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{DN}}\)

\(\Delta ABD\) có AB = AD (định nghĩa hình thoi) và \(\hat A = {60^0}\) nên \(\Delta ABD\) là tam giác đều

\( \Rightarrow AB = BD = DA\)

Từ \( \Rightarrow \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{DN}}(cmt) \Rightarrow \frac{{MB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DN}}\)

Mặt khác \(\widehat {MBD} = \widehat {DBN} = {120^0}\)

Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta BDN\) có: \(\frac{{MB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DN}},\widehat {MBD} = \widehat {DBN}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MBD \backsim \Delta BDN(c - g - c)\\ \Rightarrow \widehat {BMD} = \widehat {DBN}\end{array}\)

Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta KBD\) có: \(\widehat {MBD} = \widehat {DBN},\widehat {BDM}\) chung

\( \Rightarrow \widehat {BKD} = \widehat {MDB} = {120^0}\)

Vậy \(\widehat {BKD} = {120^0}\)

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta AMB \backsim \Delta DCM(c - g - c)\) suy ra số đo góc BMC.

Lời giải chi tiết :

Kẻ \(BK \bot CD(K \in CD)\) thì tứ giác ABKD là hình có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Do đó: \(DK = AB = 4(cm) \Rightarrow KC = DC - DK = 9 - 4 = 5(cm)\)

Tam giác KBC vuông tại K, theo định lý Pytago ta có:

\(B{C^2} = C{K^2} + K{B^2}\) hay \({13^2} = {5^2} + K{B^2} \Rightarrow KB = 12(cm)\) nên \( \Rightarrow AD = KB = 12(cm)\)

M là trung điểm của AD nên \(AM = MD = \frac{1}{2}AD = 6(cm)\)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta DCM\) có: \(\frac{{AB}}{{DM}} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{{AM}}{{DC}},\widehat {MAB} = \widehat {MDC} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta AMB \backsim \Delta DCM(c - g - c)\)

\( \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {DCM}\) mà \(\widehat {DMC} + \widehat {DCM} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {AMB} + \widehat {DCM} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BMC} = {90^0}\)